Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) có phương trình \(x - 2y + 2z - 5 = 0.\) Xét mặt phẳng \(\left( Q \right):x + \left( {2m - 1} \right)z + 7 = 0,\) với m là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của m để mặt phẳng (P) tạo với (Q) một góc \(\frac{\pi }{4}.\)

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh, a góc giữa mặt bên và mặt phẳng đáy là α thoả mãn \({\rm{cos}}\alpha {\rm{ = }}\frac{1}{3}.\) Mặt phẳng (P) qua AC và vuông góc với mặt phẳng (SAD) chia khối chóp S.ABCD thành hai khối đa diện. Tỉ lệ thể tích hai khối đa diện là gần nhất với giá trị nào trong các giá trị sau

Biết \(\int\limits_3^5 {\frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}}} dx = a + \ln \frac{b}{2}\) với a, b là các số nguyên. Tính S = a - 2b

Cho số phức z thỏa \(\left| {z - 3 + 4i} \right| = 2\) và \({\rm{w}} = 2z + 1 - i.\) Khi đó \(|w|\) có giá trị lớn nhất là

Một miếng giấy hình chữ nhật ABCD với \(AB = x,\,\,BC = 2x\) và đường thẳng \(\Delta\) nằm trong mặt phẳng (ABCD), \(\Delta\) song song với AD  và cách AD một khoảng bằng a, \(\Delta\) không có điểm chung với hình chữ nhật ABCD và khoảng cách từ A đến B đến \(\Delta\). Tìm thể tích lớn nhất có thể có của khi quay hình chữ nhật ABCD quanh \(\Delta\)

Xét số phức z và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn là M và M’. Số phức \(z\left( {4 + 3i} \right)\) và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn là N, N’. Biết rằng M, M’, N , N’ là bốn đỉnh của hình chữ nhật. Tìm giá trị nhỏ nhất của \(\left| {z + 4i - 5} \right|.\)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm \(A\left( {1;1;1} \right)\)và đường thẳng \(\left( d \right):\left\{ \begin{array}{l} x = 6 - 4t\\ y = - 2 - t\\ z = - 1 + 2t \end{array} \right..\) Tìm tọa độ hình chiếu A’ của A trên (d).

Cho số phức z thỏa mãn điều kiện \(3 \le \left| {z - 3i + 1} \right| \le 5.\) Tập hợp các điểm biểu diễn của Z tạo thành một hình phẳng. Tính diện tích S của hình phẳng đó.

Một vận động viên đua xe F đang chạy với vận tốc 10 (m/s) thì anh ta tăng tốc với vận tốc \(a\left( t \right) = 6t\left( {m/{s^2}} \right),\) trong đó t là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc tăng tốc. Hỏi quãng đường xe của anh ta đi được trong thời gian 10(s) kể từ lúc bắt đầu tăng tốc là bao nhiêu?

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {{x^2} + x} - x} \right)\)bằng:

Cho điểm \(M\left( {2; - 6;4} \right)\) và đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 3}}{1} = \frac{z}{{ - 2}}.\) Tìm tọa độ điểm M’ đối xứng với điểm M qua d.

Kí hiệu (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) = \sqrt x .{e^{{x^2}}},\) trục hoành, đường thẳng x = 1. Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi (H) quay quanh trục hoành.

Cho hai số phức z, w khác 0 và thỏa mãn \(\frac{3}{z} + \frac{4}{{\rm{w}}} = \frac{5}{{z + {\rm{w}}}},\) biết \(\left| {\rm{w}} \right| = 1.\) Mệnh đề nào sau đây là đúng?

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz,  cho hai điểm \(A\left( {1;1;1} \right),B\left( {2;0;1} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x + y + 2z + 2 = 0.\) Viết phương trình chính tắc của đường thẳng d đi qua A,  song song với mặt phẳng (P) sao cho khoảng cách từ B đến d lớn nhất.

Cho đa giác đều 16 đỉnh. Hỏi có bao nhiêu tam giác vuông có ba đỉnh là ba đỉnh của đa giác đều đó?

Trong một cuộc thi làm đồ dùng học tập do trường phát động, bạn An nhờ bố làm một hình chóp tứ giác đều bằng cách lấy một mảnh tôn hình vuông ABCD có cạnh bằng 5cm, cắt mảnh tôn theo các tam cân AEB, CGD, DHA; sau đó gò các tam giác AEH, BEF, CFG, DGH sao cho bốn đỉnh A, B, C, D trùng nhau tạo thành khối chóp tứ giác đều. Thể tích lớn nhất của khối chóp tứ giác đều tạo thành bằng:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và có thể tích V. Điểm P là trung điểm của SC, một mặt phẳng qua AP cắt hai cạnh SD và SB lần lượt tại M và N. Gọi \(V_1\)  là thể tích khối chóp S.AMPN. Giá trị lớn nhất của \(\frac{{{V_1}}}{V}\) thuộc khoảng nào sau đây?

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{{3 - {x^2}}}{2}\,\,khi\,x < 1\\ \frac{1}{x}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,x < 1 \end{array} \right.\,\,.\) Khẳng định nào dưới đây là sai?

Tìm m để đồ thị hàm số \(y = {x^4} - 2{m^2}{x^2} + 1\)  có 3 điểm cực trị lập thành một tam giác vuông cân.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng \({d_1}:\left\{ \begin{array}{l} x = 2t\\ y = t\\ z = 4 \end{array} \right.\) và \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l} x = 3 - t'\\ y = t'\\ z = 0 \end{array} \right.\). Viết phương trình mặt cầu (S) có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với cả hai đường thẳng \(d_1\) và \(d_2\)

Tìm hệ số chứa \(x^9\) trong khai triển của \(P\left( x \right) = {\left( {1 + x} \right)^9} + {\left( {1 + x} \right)^{10}}.\)