Trong đợt chào mừng ngày 26/03/2016, trường THPT Lê Quảng Chí có tổ chức cho học sinh các lớp tham quan dã ngoại ngoài trời, trong số đó có lớp 12A. Để có thể có chỗ nghỉ ngơi trong quá trình tham quan dã ngoại, lớp 12A đã dựng trên mặt đất bằng phẳng 1 chiếc lều bằng bạt từ một tấm bạt hình chữ nhật có chiều dài là 12m và chiều rộng là 6m bằng cách: Gập đôi tấm bạt lại theo đoạn nối trung điểm hai cạnh là chiều rộng của tấm bạt sao cho hai mép chiều dài còn lại của tấm bạt sát đất và cách nhau x m (xem hình vẽ). Tìm x để khoảng không gian phía trong lều là lớn nhất?

Công ty mỹ phẩm cho ra một mẫu sản phẩm dưỡng trắng da chống lão hóa mới mang tên Sakura với thiết kế là một khối cầu như một viên bi khổng lồ, bên trong là một khối trụ nằm phần nữa để đựng kem dưỡng da (như hình vẽ). Theo dự kiến nhà sản xuất dự định để khối cầu có bán kính \(R=2\sqrt 6 \) (cm). Tìm thể tích lớn nhất của khối trụ đựng kem để thể tích thực ghi trên bìa hộp là lớn nhất (nhằm thu hút khách hàng).

Một đường dây điện được nối từ một nhà máy điện ở A đến một hòn đảo ở C. Khoảng cách ngắn nhất từ C đến B là 1 km. Khoảng cách từ B đến A là 4. Mỗi km dây điện đặt dưới nước là mất 5000 USD, còn đặt dưới đất mất 3000 USD. Hỏi điểm S trên bờ cách A bao nhiêu để khi mắc dây điện từ A qua S rồi đến C là ít tốn kém nhất.

Người ta cần xây một hồ chứa nước với dạng khối hộp chữ nhật không nắp có thể tích bằng \(\frac{{500}}{3}\) m³. Đáy hồ là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Giá thuê nhân công để xây hồ là 500.000 đồng/m². Hãy xác định kích thước của hồ nước sao cho chi phí thuê nhân công thấp nhất. Chi phí đó là?

Trong bài thực hành của môn huấn luyện quân sự có tình huống chiến sĩ phải bơi qua một con sông để tấn công một mục tiêu ở phía bờ bên kia sông. Biết rằng lòng sông rộng 100m và vận tốc bơi của chiến sĩ bằng một nửa vận tốc chạy trên bộ. Hãy cho biết chiến sĩ phải bơi bao nhiêu mét để đến được mục tiếu nhanh nhất, nếu như dòng sông là thẳng, mục tiêu ở cách chiến sĩ 1 km theo đường chim bay và chiến sĩ cách bờ bên kia sông 100m.

Một bạn học sinh cắt lấy tờ giấy hình tròn (có bán kính R) rồi cắt một phần giấy có dạng hình quạt. Sau đó bạn ấy lấy phần giấy đó làm thành cái nón chú hề (như hình vẽ). Gọi x là chiều dài dây cung tròn của phần giấy được xết thành cái nón chú hề, h và r lần lượt là chiều cao và bán kính của của cái nón. Nếu x = k.R thì giá trị của k xấp xỉ bằng bao nhiêu để thể tích của hình nón là lớn nhất.

Một công ty bất động sản có 50 căn hộ cho thuê. Biết rằng nếu cho thuê mỗi căn hộ với giá 2.000.000 đồng một tháng thì mọi căn hộ đều có người thuê và cứ tăng thêm giá cho thuê mỗi căn hộ 100.000 đồng một tháng thì sẽ có 2 căn hộ bị bỏ trống. Hỏi muốn có thu nhập cao nhất thì công ty đó phải cho thuê mỗi căn hộ với giá bao nhiêu một tháng.

Một lọ nước hoa thương hiệu BOURJOIS được thiết kế vỏ dạng nón có thể tích V không đổi, phần chứa dung dịch nước hoa là hình trụ nội tiếp hình nón trên. Hỏi để chứa được nhiều nước hoa nhất thì tỷ số khoảng cách từ đỉnh hình nón đến mặt trên của hình trụ chứa nước hoa với chiều cao của hình nón bằng bao nhiêu?

Có hai chiếc cọc cao 10m và 30m lần lượt đặt tại hai vị trí A, B. Biết khoảng cách giữa hai cọc bằng 24m. Người ta chọn một cái chốt ở vị trí M trên mặt đất nằm giữa hai chân cột để giăng dây nối đến hai đỉnh C và D của cọc (như hình vẽ). Hỏi ta phải đặt chốt ở vị trí nào trên mặt đất để tổng độ dài của hai sợi dây đó là ngắn nhất.

Khi một kim loại được làm nóng đến 600°C, độ bền kéo của nó giảm đi 50%. Sau khi kim loại vượt qua ngưỡng 600°C, nếu nhiệt độ kim loại tăng thêm 5°C thì độ bền kéo của nó giảm đi 35% hiện có. Biết kim loại này có độ bền kéo là 280MPa dưới 600°C và được sử dụng trong việc xây dựng các lò công nghiệp. Nếu mức an toàn tối thiểu độ bền kéo của vật liệu này là 38MPa, thì nhiệt độ an toàn tối đa của lò công nghiệp bằng bao nhiêu, tính theo độ Celsius?

Khi nuôi cá thí nghiệm trong hồ, các nhà sinh học thấy rằng: Nếu trên mỗi đơn vị diện tích của mặt hồ có n con cá thì trung bình mỗi con cá sau một vụ có cân nặng P = 960 - 20n (gam). Hỏi phải thả bao nhiêu cá trên một đơn vị diện tích của mặt hồ để sau một vụ thu hoạch được nhiều cá nhất?

Cần phải xây dựng một hố ga, dạng hình hộp chữ nhật có thể tích 3(m³). Tỉ số giữa chiều cao của hố (h) và chiều rộng của đáy (y) bằng 4. Biết rằng hố ga chỉ có các mặt bên và mặt đáy (tức không có mặt trên). Chiều dài của đáy (x) gần nhất với giá trị nào ở dưới để người thợ tốn ít nguyên vật liệu để xây hố ga.

Một cái mũ bằng vải của nhà ảo thuật gia gồm phần dạng hình trụ (có tổng diện tích vải là S₂) và phần dạng hình vành khăn (có tổng diện tích vải là S₁) với các kích thước như hình vẽ. Tính tổng (r + d) sao cho biểu thức P = \(3{S_2} - {S_1}\) đạt giá trị lớn nhất (không kể viền, mép, phần thừa).

Một học sinh vẽ hình chữ nhật nội tiếp nửa đường tròn đường kính d, có một cạnh trùng với đường kính hình tròn (như hình vẽ). Gọi x là độ dài cạnh hình chữ nhật không trùng với đường kính. Tính diện tích nửa hình tròn theo x, biết diện tích hình chữ nhật đã cho là lớn nhất.

Một học sinh được giao thiết kế một cái hộp thỏa mãn: Tổng của chiều dài và chiều rộng bằng 12cm; tổng của chiều rộng và chiều cao là 24cm. Giáo viên yêu cầu học sinh ấy phải thiết kế sao cho thể tích cái hộp lớn nhất, giá trị thể tích lớn nhất bằng bao nhiêu?

Cho một hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều. Thể tích của hình lăng trụ là V. Để diện tích toàn phần của hình lăng trụ nhỏ nhất thì cạnh đáy của lăng trụ là:

Một cái nắp của bình chứa rượu gồm một phần dạng hình trụ, phần còn lại có dạng nón (như hình vẽ). Phần hình nón có bán kính đáy r, chiều cao h, đường sinh bằng 1,25m. Phần hình trụ có bán kính đáy bằng bán kính hình nón, chiều cao bằng h/3. Kết quả (r + h ) xấp xỉ bằng bao nhiêu cm để diện tích toàn phần của cái nắp là lớn nhất.

Một hạt ngọc trai hình cầu (S) bán kính R không đổi, được bọc trong một hộp trang sức dạng hình nón (N) ngoại tiếp mặt cầu (S). Khi đó thì chiều cao h và bán kính đáy r của hình nón (N) lần lượt bằng bao nhiêu để hộp trang sức có thể tích nhỏ nhất?

Một kĩ sư thiết kế sân tập thể thao dạng hình chữ nhật ABCD diện tích bằng 961m² và được mở rộng thêm 4 phần đất sao cho tạo thành đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD có tâm O là giao điểm hai đường chéo AC và BD. Tính diện tích nhỏ nhất (có thể đạt được) của 4 phần đất được mở rộng. (Xem hình vẽ bên)

Một bác nông dân có 60 000 000 đồng để làm một cái rào hình chữ E dọc theo một con sông (như hình vẽ) để làm một khu đất có hai phần bằng nhau để trồng cà chua. Đối với mặt hàng rào song song với bờ sông thì chi phí nguyên vật liệu là 50 000 đồng một mét, còn đối với ba mặt hàng rào song song với nhau thì chi phí nguyên vật liệu là 40 000 đồng một mét. Tìm diện tích lớn nhất của đất có thể rào được?

Tính chiều dài bé nhất của cái thang đơn vị m, để nó có thể tựa vào tường và mặt đất, ngang qua cột đỡ cao 4m, song song và cách tường 0,5m kể từ tâm của cột đỡ (xem hình vẽ, kết quả lấy đến 2 chữ số thập phân).