Rút gọn biểu thức \(\frac{{\sqrt a .\sqrt[6]{a}}}{{\sqrt[3]{a}\sqrt[4]{a}}}\left( {a > 0} \right)\)

Số phức z thỏa mãn \(\frac{{z - 2i}}{{z - 2}}\) là số ảo. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \left| {z - 1} \right| + \left| {z - i} \right|\)

Tính giới hạn của hàm số \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt[3]{{x + 8}} - \sqrt {x + 4} }}{x}\)

Một công ty bất động sản có 50 căn hộ cho thuê. Biết rằng nếu cho thuê mỗi căn hộ giá 2.000.000 đồng một tháng thì mọi căn hộ đều có người thuê và cứ mỗi lần tăng giá cho thuê mỗi căn hộ 100.000 đồng một tháng thì có thêm hai căn hộ bị bỏ trống. Hỏi muốn có thu nhập cao nhất, công ty đó phải cho thu mỗi căn hộ với giá bao nhiêu một tháng?

Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có góc giữa hai mặt phẳng (A'BC) và (ABC) bằng \(60^o\); cạnh AB = a. Tính thể tích khối đa diện ABCC'B'

Cho \(a,b,c > 1\). Xét hai mệnh đề sau:

\(\left( I \right).{\log _a}b + {\log _b}c + {\log _c}a \ge 3\)

\(\left( {II} \right).{\log _a}{b^2} + {\log _b}{c^2} + {\log _c}{a^2} \ge 24\)

Tính thể tích V của vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi đường cong \(y = \sqrt x \), trục tung và đường thẳng y =2 quay quanh trục Oy.

Trong mặt phẳng Oxy, cho prabol \(\left( P \right):y = {x^2}\). Viết phương trình đường thẳng d đi qua \(M\left( {1;3} \right)\) sao cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) và d đạt giá trị nhỏ nhất.

Tính giới hạn của dãy số \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{{1.1! + 2.2! + ... + n.n!}}{{\left( {n + 1} \right)!}}\)

Cho \(a = {\log _3}2,b = {\log _5}2\). Khi đó \({\log _{16}}60\) bằng:

Trong không gian Oxyz có 6 mặt phẳng sau

\(\left( {{\alpha _1}} \right):2x - y + z - 4 = 0\)

\(\left( {{\alpha _2}} \right):x + z - 3 = 0\)

\(\left( {{\beta _1}} \right):3x + y - 7 = 0\)

\(\left( {{\beta _2}} \right):2x + 3z - 5 = 0\)

\(\left( {{\gamma _1}} \right):x - my + 2z - 3 = 0\)

\(\left( {{\gamma _2}} \right):2x + y + z - 6 = 0\)

Gọi \({d_1},{d_2},{d_3}\) lần lượt là giao tuyến của các cặp mặt phẳng \(\left( {{\alpha _1}} \right)\) và \(\left( {{\alpha _2}} \right);\left( {{\beta _1}} \right)\) và \(\left( {{\beta _2}} \right);\left( {{\gamma _1}} \right)\) và \(\left( {{\gamma _2}} \right)\). Tìm m để \({d_1},{d_2},{d_3}\) đồng quy.

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi canh a, \(\angle BCD = 120^\circ \) và \(AA' = \frac{{7a}}{2}\). Hình chiếu vuông góc của A’ lên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm của AC và BD. Tính theo a thể tích khối hộp ABCD.A'B'C'D'

Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh bằng a, góc tạo bởi cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng \(30^o\). Biết hình chiếu vuông góc của A’ trên (ABC) trùng với trung điểm cạnh BC. Tính theo a bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A'.ABC

Khẳng định nào sau đây là sai?

Cho hình lập phương ABCD.EFGH với \(\overrightarrow {AE} = \overrightarrow {BF} = \overrightarrow {CG} = \overrightarrow {HD} \). Gọi \(M,N,P,Q\) lần lượt là trung điểm bốn cạnh \(BF,FE,DH,DC\). Hỏi mệnh đề nào đúng?

Cho x, y là hai số thực dương thay đổi và thỏa mãn điều kiện \(x + 2y - xy = 0\). Tìm giá trị nhỏ nhất của  biểu thức \(P = \frac{{{x^2}}}{{4 + 8y}} + \frac{{{y^2}}}{{1 + x}}\)

Tìm giá trị của m để hàm số \(y = \frac{{{x^2} - 2mx + 3{m^2}}}{{2m - x}}\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\)

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(y = {\sin ^4}x{\cos ^6}x\)

Cho hàm số \(y = \frac{{2x + 1}}{{x - 1}}\) có đồ thị (C). Gọi I là giao điểm tại hai tiềm cận. Có bao nhiêu điểm M thuộc (C) biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt hai tiệm cận tại A, B tạo thành tam giác IAB có trung tuyến \(IN = \sqrt {10} \).

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn \(\left[ {0;2a} \right]\). Hỏi mệnh đề nào sau đây đúng?

Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm \(A\left( {2;0;0} \right),B\left( {0;4;0} \right),C\left( {0;0;6} \right),D\left( {2;4;6} \right)\).
ét các mệnh đề sau:

(I). Tập hợp các điểm M sao cho \(\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right| = \left| {\overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} } \right|\) là một mặt phẳng

(II). Tập hợp các điểm M sao cho \(\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} } \right| = 4\) là một mặt cầu tâm \(I\left( {1;2;3} \right)\) và bán kính R = 1.