Gọi M, N là hai điểm di động trên đồ thị (C) của hàm số \(y = - {x^3} + 3{x^2} - x + 4\) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M và N luôn song song với nhau. Hỏi khi M, N thay đổi, đường thẳng MN luôn đi qua nào trong các điểm dưới đây ?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiGọi \(M\left( {{x_M};{y_M}} \right),N\left( {{x_N};{y_N}} \right)\)
Do \(M,N \in \left( C \right)\) nên \(M\left( {{x_M}; - x_M^3 + 3x_M^2 - {x_M} + 4} \right),N\left( {{x_N}, - x_N^3 + 3x_N^2 - {x_N} + 4} \right)\)
Theo giả thiết tiếp tuyến của (C) tại M và N luôn song song với nhau nên ta có:
\(\begin{array}{l}
y'\left( {{x_M}} \right) = y'\left( {{x_N}} \right) \Leftrightarrow - 3{x_M}^2 + 6{x_M} - 1 = - 3{x_N}^2 + 6{x_N} - 1 \Leftrightarrow - 3{x_M}^2 + 6{x_M} + 3{x_N}^2 - 6{x_N} = 0\\
\Leftrightarrow \left( {{x_N} - {x_M}} \right)\left( {{x_N} + {x_M} - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x_N} - {x_M} = 0\\
{x_N} + {x_M} = 2
\end{array} \right.
\end{array}\)
Do M và N phân biệt nên \({x_N} \ne {x_M}\) , suy ra \(x_N+x_M=2\)
Ta có
\(\begin{array}{l}
{y_M} + {y_N} = - \left( {{x_M}^3 + {x_N}^3} \right) + 3\left( {{x_M}^2 + {x_N}^2} \right) - \left( {{x_M} + {x_N}} \right) + 8\\
= - \left[ {{{\left( {{x_M} + {x_N}} \right)}^3} - 3\left( {{x_M} + {x_N}} \right){x_M}{x_N}} \right] + 3\left[ {{{\left( {{x_M} + {x_N}} \right)}^2} - 2{x_M}{x_N}} \right] - \left( {{x_M} + {x_N}} \right) + 8\\
= - \left[ {{2^3} - 6{x_M}{x_N}} \right] + 3\left[ {{2^2} - 2{x_M}{x_N}} \right] - 2 + 8 = 10
\end{array}\)
Từ đây suy ra đường thẳng MN luôn đi qua điểm cố định là trung điểm Q(1;5) của MN
Đề thi thử THPT QG môn Toán năm 2019
Trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc lần 2
Câu hỏi liên quan
-
Cho hàm số \(y=f(x)\) có đồ thị \(f'(x)\) như hình vẽ
.png)
Hàm số \(y = f\left( {1 - x} \right) + \frac{{{x^2}}}{2} - x\) nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây?
-
Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) sao cho giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \left| {\frac{{{x^2} + mx + m}}{{x + 1}}} \right|\) trên \(\left[ {1;2} \right]\) bằng 2. Số phần tử của tập S là
-
Kí hiệu \(\max \left\{ {a;b} \right\}\) là số lớn nhất trong hai số \(a, b\) Tìm tập nghiệm S của bất phương trình \(\max \left\{ {{{\log }_2}x;{\rm{ }}{{\log }_{\frac{1}{3}}}x} \right\} < 1.\)
-
Đường thẳng \(y=2\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số nào trong các hàm số sau đây?
-
Hàm số \(y = {x^4} - 2{x^{\rm{2}}} + 1\) nghịch biến trên các khoảng nào sau đây?
-
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} - m{x^2} + 4x + 2\) đồng biến trên tập xác định của nó ?
-
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho elip \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\). Điểm \(M \in \left( E \right)\) sao cho \(\widehat {{F_1}M{F_2}} = {90^0}.\) Tìm bán kính đường tròn nội tiếp tam giác \(M{F_1}{F_2}.\)
-
Hình hộp chữ nhật có ba kích thước đôi một khác nhau có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng ?
-
Một hình trụ có bán kính đáy bằng \(r\) và có thiết diện qua trục là một hình vuông. Tính diện tích toàn phần của hình trụ đó.
-
Cho hình chóp S.ABC có \(SA = a,\,\,SB = 2a,\,\,SC = 4a\) và \(\widehat {ASB} = \widehat {BSC} = \widehat {CSA} = {60^0}.\) Tính thể tích khối chóp S.ABC theo \(a\).
-
Cho biểu thức \(P = \sqrt[3]{{x.\sqrt[4]{{{x^3}\sqrt x }}}}\), với \(x > 0.\) Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
-
Biết rằng phương trình \({{\rm{e}}^x} - {{\rm{e}}^{ - x}} = 2\cos ax\) (\(a\) là tham số) có 3 nghiệm thực phân biệt. Hỏi phương trình \({{\rm{e}}^x} + {{\rm{e}}^{ - x}} = 2\cos ax + 4\) có bao nhiêu nghiệm thực phân biệt ?
-
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật OMNP với \(M\left( {0;10} \right),\,\,N\left( {100;10} \right),\,\,P\left( {100;0} \right)\) Gọi S là tập hợp tất cả các điểm \(A\left( {x;y} \right)\) với \(x,y \in Z\) nằm bên trong (kể cả trên cạnh) của hình chữ nhật OMNP. Lấy ngẫu nhiên một điểm \(A\left( {x;y} \right) \in S\). Tính xác suất để \(x + y \le 90\).
-
Cho hàm số \(y=f(x)\). Hàm số \(y=f'(x)\) có đồ thị trên một khoảng K như hình vẽ bên.
.png)
Trong các khẳng định sau, có tất cả bao nhiêu khẳng định đúng ?
(I) : Trên K, hàm số \(y=f(x)\) có hai điểm cực trị.
(II) : Hàm số \(y=f(x)\) đạt cực đại tại \(x_3\).
(III) : Hàm số \(y=f(x)\) đạt cực tiểu tại \(x_1\).
-
Số cạnh của hình mười hai mặt đều là
-
Đường cong trong hình dưới là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?
.PNG)
-
Với \(n\) là số tự nhiên lớn hơn 2, đặt \({S_n} = \frac{1}{{C_3^3}} + \frac{1}{{C_4^3}} + \frac{1}{{C_5^4}} + ... + \frac{1}{{C_n^3}}\). Tính \(S_n\)
-
Tìm giá trị cực tiểu \(y_{CT}\) của hàm số \(y = - {x^3} + 3x - 4\).
-
Giá trị lớn nhất của hàm số \(y = 2{x^3} + 3{x^2} - 12x + 2\) trên đoạn \(\left[ { - 1;2} \right]\) thuộc khoảng nào dưới đây?
-
Tập xác định của \(y = \ln \left( { - {x^2} + 5x - 6} \right)\) là
