Cho x, y, z là các số thực không âm thỏa \({2^x} + {2^y} + {2^z} = 4\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x +y + z?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiVới x, y, z là các số thực không âm, nên: \(4 = {2^x} + {2^y} + {2^z} \ge {2^x} + 2 \Leftrightarrow 0 \le x \le 1\).
Tương tự: \(y,z \in \left[ {0;1} \right]\).
Ta chứng minh: \({2^t} \le t + 1,\forall t \in \left[ {0;1} \right]\).
Xét hàm số \(f\left( t \right) = {2^t} - t - 1,\forall t \in \left[ {0;1} \right]\).
\(f'\left( t \right) = {2^t}\ln 2 - 1\).
\(f''\left( t \right) = {2^t}{\ln ^2}2 > 0\) ⇒ f'(t) đồng biến.
⇒ f'(t) có nhiều nhất 1 nghiệm. Do đó f(t) = 0 có nhiều nhất 2 nghiệm.
Mặt khác: \(f\left( 0 \right) = f\left( 1 \right) = 0\) nên \(f\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = 0\\ t = 1 \end{array} \right.\).
Suy ra \(f\left( t \right) \le 0,\forall t \in \left[ {0;1} \right]\) hay \({2^t} \le t + 1,\forall t \in \left[ {0;1} \right]\) (*)
Áp dụng (*), ta được: \(\left\{ \begin{array}{l} {2^x} \le x + 1\\ {2^y} \le y + 1\\ {2^z} \le z + 1 \end{array} \right. \Rightarrow P = x + y + z \ge {2^x} + {2^y} + {2^z} - 3 = 1\).
\( \Rightarrow {\rm{min }}P = 1\), đạt được khi \(\left\{ \begin{array}{l} {2^x} = x + 1\\ {2^y} = y + 1\\ {2^z} = z + 1\\ {2^x} + {2^y} + {2^z} = 4 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left( {x,y,z} \right) = \left( {0;0;1} \right)\) và các hoán vị.
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Trần Quang Khải
Câu hỏi liên quan
-
Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn \(\ln \frac{{\sqrt {1 + xy} }}{{x + y}} = \frac{{{x^2} + {y^2} + xy - 1}}{2}\). Biết giá trị lớn nhất của của biểu thức \(P = \frac{{xy}}{{x + y}}\) bằng \(\frac{{\sqrt a }}{b}\) trong đó a là số nguyên tố. Tính ab2
-
Cho hàm số \(f\left( x \right) = 4{x^3} + 2x + 1\). Tìm \(\int {f\left( x \right){\rm{d}}x} \).
-
Cho hàm số f(x), bảng xét dấu f'(x) của như sau:
.png)
Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
-
Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] thỏa mãn \(f\left( 1 \right) = 1,\,\int\limits_0^1 {{{\left[ {f'\left( x \right)} \right]}^2}{\rm{d}}x = \frac{9}{5}} \) và \(\int\limits_0^1 {f\left( {\sqrt x } \right){\rm{d}}x} = \frac{2}{5}\). Tính tích phân \(I = \int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} \).
-
Diện tích của mặt cầu bán kính R là
-
Cho cấp số cộng (un) với u1 = 2 và công sai d = 1. Khi đó u3 bằng
-
Tìm phương trình tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{{x - 1}}{{x + 1}}\).
-
Cho hàm số y = f(x) là hàm số chẵn, liên tục trên R và số thực a dương thỏa \(\int\limits_0^a {f\left( x \right){\rm{d}}x = 3} \). Tính \(I = \int\limits_{ - a}^a {\left( {f\left( x \right) - x} \right){\rm{d}}x} \).
-
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
-
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB = AA' = a,AD = 2a. Gọi góc giữa đường chéo A'C và mặt phẳng đáy (ABCD) là \(\alpha\). Khi đó \(\tan \alpha\) bằng
.png)
-
Thể tích khối lăng trụ có chiều cao h và diện tích đáy bằng B là.
-
Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, mặt phẳng \(\left( \alpha \right):x - 2y + 3z + 2018 = 0\) có một véctơ pháp tuyến là
-
Cho hàm số \(y = - {x^3} + 2{x^2}\) có đồ thị (C). Có bao nhiêu tiếp tuyến của đồ thị (C) song song với đường thẳng y = x.
-
Cho hình lăng trụ đều ABC.A'B'C', biết góc giữa hai mặt phẳng (A'BC) và (ABC) bằng 45o, diện tích tam giác A'BC bằng \({a^2}\sqrt 6 \). Tính diện tích xung quanh của hình trụ ngoại tiếp hình lăng trụ ABC.A'B'C'.
-
Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;-1;2). Phương trình mặt phẳng (Q) đi qua các hình chiếu của điểm A trên các trục tọa độ là
-
Cho số thực a > 1. Gọi A, B, C lần lượt là các điểm thuộc đồ thị các hàm số \(y = {a^x};\,y = {\left( {\frac{1}{a}} \right)^x};y = {\log _{\frac{1}{a}}}x.\) Biết tam giác ABC vuông cân đỉnh A, AB = 4 và đường thẳng AC song song với trục Oy. Khi đó giá trị a bằng:
-
Nếu \(\int\limits_a^d {f(x)} dx = 5\) và \(\int\limits_d^b {f(x)} dx = 2\) (a < d < b). Tích phân \(\int\limits_a^b {f(x)} dx\) bằng
-
Hỏi điểm M(3;-1) là điểm biểu diễn số phức nào sau đây ?
-
Cho hình chóp S.ABC có SA, SB, S đôi một vuông góc với nhau và \(SA = 2\sqrt 3 \), SB = 2, SC = 3. Tính thể tích khối chóp S.ABC.
-
Một khối trụ có bán kính đáy r = 5a và thể tích bằng \(V = 175\pi {a^3}\). Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trục 3a. Diện tích của thiết diện được tạo nên bằng
