Cho số phức thỏa mãn điều kiện \(|z - 2 + 2i| = 1\). Tìm giá trị lớn nhất của \(|z|\).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐặt z = x +yi M (x, y)
\(\begin{array}{l}\left| {z - 2 + 2i} \right| = 1\\ \Rightarrow \left| {x + yi - 2 + 2i} \right| = 1\\ \Rightarrow \left| {\left( {x - 2} \right) + \left( {y + 2} \right)i} \right| = 1\\ \Rightarrow \sqrt {{{(x - 2)}^2} + {{(y + 2)}^2}} = 1\end{array}\)
Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I(2,-2), bán kính r=1
Ta có \(\left| z \right| = \left| {x = yi} \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2}} \)
Lấy H( 0, 0) và M( x, y) thì \(HM = \sqrt {{x^2} + {y^2}} \)
Do M chạy trên đường tròn, H cố định nên MH lớn nhất khi M là giao điểm của HI với đường tròn
Với H( 0, 0) và I( 2, -2) nên \(\overrightarrow {HI} = (2, - 2)\)
Phương trình đường thẳng HI:
\((1)\left\{ \begin{array}{l}x = 2t\\y = - 2t\end{array} \right.\)
Do HI giao với đường tròn nên ta thay (1) vào pt đường tròn, ta được:
\(\begin{array}{l}{\left( {2t - 2} \right)^2} + {\left( { - 2t + 2} \right)^2} = 1\\ \Leftrightarrow 8{\left( {t - 1} \right)^2} = 1\\ \Leftrightarrow {(t - 1)^2} = \dfrac{1}{8}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t - 1 = \dfrac{1}{{2\sqrt 2 }}\\t - 1 = \dfrac{{ - 1}}{{2\sqrt 2 }}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1 + \dfrac{1}{{2\sqrt 2 }} \\t = 1 - \dfrac{1}{{2\sqrt 2 }} \end{array} \right.\end{array}\)
\( \Rightarrow {M_1}\left( {2 + \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}, - 2 - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)\) \(\Rightarrow H{M_1} = 2\sqrt 2 + 1\)
\(\Rightarrow {M_2}\left( {2 - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}, - 2 + \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}} \right) \) \(\Rightarrow H{M_2} = 2\sqrt 2 - 1\)
\( \Rightarrow {\left| z \right|_{{\rm{max}}}} = H{M_1} = 2\sqrt 2 + 1\) với \({M_1}\left( {2 + \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}, - 2 - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)\)
Câu hỏi liên quan
-
Cho mặt cầu \(\left( S \right)\): \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 9\). Phương trình mặt cầu nào sau đây là phương trình của mặt cầu đối xứng với mặt cầu (S) qua mặt phẳng (Oxy):
-
Đường tròn giao tuyến của \(\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 16\) khi cắt bởi mặt phẳng (Oxy) có chu vi bằng:
-
Cho số thực a thỏa mãn \(\int\limits_{ - 1}^a {{e^{x + 1}}} \,dx = {e^2} - 1\). Khi đó a có giá trị bằng:
-
Mô đun của số phức z thỏa mãn \(\overline z = 8 - 6i\) là:
-
Mặt cầu tiếp xúc với các cạnh của tứ diện đều \(ABCD\) cạnh \(a\) có bán kính là?
-
Cho \(I = \int\limits_1^2 {2x\sqrt {{x^2} - 1} \,dx\,,\,\,u = {x^2} - 1} \). Khẳng định nào dưới đây sai ?
-
Với 0 < a < b, \(m \in {N^*}\) thì:
-
Trong không gian \({\left( {x + 4} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z + 6} \right)^2} = 18.\), cho mặt phẳng \({\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 6} \right)^2} = 9.\): \({\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 6} \right)^2} = 16.\) và đường thẳng \(d\):\(N( - 5;7;0)\). Với giá trị nào của \(\vec u = (2; - 2;1)\)thì \(\overrightarrow {MN} = ( - 9;6; - 6)\)cắt \(H\)
-
Đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{1 - 2x} }{ { - x + 2}}\) là:
-
Cho hàm số \(y = \dfrac{3 }{{x - 2}}\). Số tiệm cận của đồ thị hàm số bằng :
-
Hình nào sau đây có mặt phẳng đối xứng?
-
Cho \(c = {\log _{15}}3\). Khi đó giá trị của \({\log _{25}}15\) theo c là:
-
Cho số phức z có điểm biểu diễn nằm trên đường thẳng 3x – 4y – 3 =0, \(|z|\) nhỏ nhất bằng:
-
Cho hàm số \(y = \dfrac{{x + 1} }{ {x - 1}}\). Khẳng định nào sau đây là đúng ?
-
Tìm b, c \( \in R\) để phương trình \(2{z^2} - bz + c = 0\) có hai nghiệm thuần ảo.
-
Cho khối hộp ABCD. A’B’C’D’. Gọi O là giaocủa AC và BD. Tính tỷ số thể tích của khối chóp O. A’B’C’D’ và khối chóp đã cho.
-
Số phức \(z = \dfrac{{3 + 4i}}{{2 + 3i}} + \dfrac{{5 - 2i}}{{2 - 3i}}\) bằng:
-
Với a, b là các số dương. Giá trị biểu thức \({{{a^{{1 \over 3}}}\sqrt b + {b^{{1 \over 3}}}\sqrt a } \over {\root 6 \of a + \root 6 \of b }}\) là:
-
Tích phân \(I = \int\limits_{\dfrac{\pi }{3}}^{\dfrac{\pi }{2}} {\dfrac{{dx}}{{\sin x}}} \) có giá trị bằng:
-
Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên cho bởi bảng sau:
.JPG)
Kết luận nào sau đây sai?
