Cho một tấm nhôm hình chữ nhật ABCD có AD = 60cm và AB có độ dài không đổi. Ta gập tấm nhôm theo 2 cạnh MN và PQ vào phía trong đến khi AB và DC trùng nhau như hình vẽ bên để được một hình lăng trụ khuyết 2 đáy. Tìm x để thể tích khối lăng trụ tạo thành lớn nhất?

Một hạt ngọc trai hình cầu (S) bán kính R không đổi, được bọc trong một hộp trang sức dạng hình nón (N) ngoại tiếp mặt cầu (S). Khi đó thì chiều cao h và bán kính đáy r của hình nón (N) lần lượt bằng bao nhiêu để hộp trang sức có thể tích nhỏ nhất?

Tính chiều dài bé nhất của cái thang đơn vị m, để nó có thể tựa vào tường và mặt đất, ngang qua cột đỡ cao 4m, song song và cách tường 0,5m kể từ tâm của cột đỡ (xem hình vẽ, kết quả lấy đến 2 chữ số thập phân).

Một miếng giấy hình chữ nhật ABCD với AB = x, BC = 2x và đường thẳng Δ nằm trong mặt phẳng (ABCD), Δ song song với AD và cách AD một khoảng bằng a, Δ không có điểm chung với hình chữ nhật ABCD và khoảng cách từ A đến Δ lớn hơn khoảng cách từ B đến Δ.Tìm thể tích lớn nhất có thể có của khối tròn xoay tạo nên khi quay hình chữ nhật ABCD quanh Δ.

Người ta muốn rào quanh một khu đất với một số vật liệu cho trước là 8 (m) thẳng hàng rào. Ở đó người ta vận dụng một bờ giậu có sẵn để làm một cạnh của hàng rào. Diện tích lớn nhất của mảnh đất có thể rào là bao nhiêu?

Một đường dây điện được nối từ một nhà máy điện ở A đến một hòn đảo ở C. Khoảng cách ngắn nhất từ C đến B là 1 km. Khoảng cách từ B đến A là 4. Mỗi km dây điện đặt dưới nước là mất 5000 USD, còn đặt dưới đất mất 3000 USD. Hỏi điểm S trên bờ cách A bao nhiêu để khi mắc dây điện từ A qua S rồi đến C là ít tốn kém nhất.

Một bác nông dân có 60 000 000 đồng để làm một cái rào hình chữ E dọc theo một con sông (như hình vẽ) để làm một khu đất có hai phần bằng nhau để trồng cà chua. Đối với mặt hàng rào song song với bờ sông thì chi phí nguyên vật liệu là 50 000 đồng một mét, còn đối với ba mặt hàng rào song song với nhau thì chi phí nguyên vật liệu là 40 000 đồng một mét. Tìm diện tích lớn nhất của đất có thể rào được?

Một cái nắp của bình chứa rượu gồm một phần dạng hình trụ, phần còn lại có dạng nón (như hình vẽ). Phần hình nón có bán kính đáy r, chiều cao h, đường sinh bằng 1,25m. Phần hình trụ có bán kính đáy bằng bán kính hình nón, chiều cao bằng h/3. Kết quả (r + h ) xấp xỉ bằng bao nhiêu cm để diện tích toàn phần của cái nắp là lớn nhất.

Cho một hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều. Thể tích của hình lăng trụ là V. Để diện tích toàn phần của hình lăng trụ nhỏ nhất thì cạnh đáy của lăng trụ là:

Trong bài thực hành của môn huấn luyện quân sự có tình huống chiến sĩ phải bơi qua một con sông để tấn công một mục tiêu ở phía bờ bên kia sông. Biết rằng lòng sông rộng 100m và vận tốc bơi của chiến sĩ bằng một nửa vận tốc chạy trên bộ. Hãy cho biết chiến sĩ phải bơi bao nhiêu mét để đến được mục tiếu nhanh nhất, nếu như dòng sông là thẳng, mục tiêu ở cách chiến sĩ 1 km theo đường chim bay và chiến sĩ cách bờ bên kia sông 100m.

Trong một cuộc thi, thử thách đặt ra là: BTC sẽ cấp cho bạn một chiếc xe máy, có một đoạn dốc được tạo nên từ một mặt phẳng có thể thay đổi được độ nghiêng từ gốc. Một cảm biến quang học được đặt sẵn ở độ cao nhất định so với mặt đất sẽ hoạt động nếu xe máy của bạn đạt đến độ cao này. Biết rằng nếu chiếc xe máy này đi lên con dốc có độ nghiêng là 30° thì đạt vận tốc 20 km/h và cứ nâng độ nghiêng thêm 4° thì vận tốc xe máy giảm 5km/h. Hỏi để đạt đến độ cao đề ra sớm nhất ta nên đặt mặt phẳng ban đầu có độ nghiêng là bao nhiêu?

Trong đợt chào mừng ngày 26/03/2016, trường THPT Lê Quảng Chí có tổ chức cho học sinh các lớp tham quan dã ngoại ngoài trời, trong số đó có lớp 12A. Để có thể có chỗ nghỉ ngơi trong quá trình tham quan dã ngoại, lớp 12A đã dựng trên mặt đất bằng phẳng 1 chiếc lều bằng bạt từ một tấm bạt hình chữ nhật có chiều dài là 12m và chiều rộng là 6m bằng cách: Gập đôi tấm bạt lại theo đoạn nối trung điểm hai cạnh là chiều rộng của tấm bạt sao cho hai mép chiều dài còn lại của tấm bạt sát đất và cách nhau x m (xem hình vẽ). Tìm x để khoảng không gian phía trong lều là lớn nhất?

Một cái mũ bằng vải của nhà ảo thuật gia gồm phần dạng hình trụ (có tổng diện tích vải là S₂) và phần dạng hình vành khăn (có tổng diện tích vải là S₁) với các kích thước như hình vẽ. Tính tổng (r + d) sao cho biểu thức P = \(3{S_2} - {S_1}\) đạt giá trị lớn nhất (không kể viền, mép, phần thừa).

Khi một kim loại được làm nóng đến 600°C, độ bền kéo của nó giảm đi 50%. Sau khi kim loại vượt qua ngưỡng 600°C, nếu nhiệt độ kim loại tăng thêm 5°C thì độ bền kéo của nó giảm đi 35% hiện có. Biết kim loại này có độ bền kéo là 280MPa dưới 600°C và được sử dụng trong việc xây dựng các lò công nghiệp. Nếu mức an toàn tối thiểu độ bền kéo của vật liệu này là 38MPa, thì nhiệt độ an toàn tối đa của lò công nghiệp bằng bao nhiêu, tính theo độ Celsius?

Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 12cm. Người ta cắt ở bốn góc của tấm nhôm đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng x (cm), rồi gập tấm nhôm lại như hình vẽ dưới đây để được một cái hộp không nắp. Tìm x để hộp nhận được có thể tích lớn nhất.

Một học sinh vẽ hình chữ nhật nội tiếp nửa đường tròn đường kính d, có một cạnh trùng với đường kính hình tròn (như hình vẽ). Gọi x là độ dài cạnh hình chữ nhật không trùng với đường kính. Tính diện tích nửa hình tròn theo x, biết diện tích hình chữ nhật đã cho là lớn nhất.

Có hai chiếc cọc cao 10m và 30m lần lượt đặt tại hai vị trí A, B. Biết khoảng cách giữa hai cọc bằng 24m. Người ta chọn một cái chốt ở vị trí M trên mặt đất nằm giữa hai chân cột để giăng dây nối đến hai đỉnh C và D của cọc (như hình vẽ). Hỏi ta phải đặt chốt ở vị trí nào trên mặt đất để tổng độ dài của hai sợi dây đó là ngắn nhất.

Một lọ nước hoa thương hiệu BOURJOIS được thiết kế vỏ dạng nón có thể tích V không đổi, phần chứa dung dịch nước hoa là hình trụ nội tiếp hình nón trên. Hỏi để chứa được nhiều nước hoa nhất thì tỷ số khoảng cách từ đỉnh hình nón đến mặt trên của hình trụ chứa nước hoa với chiều cao của hình nón bằng bao nhiêu?

Khi sản xuất vỏ lon sữa bò hình trụ, các nhà thiết kế luôn đặt mục tiêu sao cho chi phí nguyên liệu làm vỏ lon là ít nhất, tức là diện tích toàn phần của hình trụ là nhỏ nhất. Muốn thể tích khối trụ đó bằng 1 dm³ và diện tích toàn phần của hình trụ nhỏ nhất thì bán kính đáy của hình trụ phải bằng bao nhiêu?

Cần phải xây dựng một hố ga, dạng hình hộp chữ nhật có thể tích 3(m³). Tỉ số giữa chiều cao của hố (h) và chiều rộng của đáy (y) bằng 4. Biết rằng hố ga chỉ có các mặt bên và mặt đáy (tức không có mặt trên). Chiều dài của đáy (x) gần nhất với giá trị nào ở dưới để người thợ tốn ít nguyên vật liệu để xây hố ga.

Cho hai vị trí A, B cách nhau 615m, cùng nằm về một phía bờ sông như hình vẽ. Khoảng cách từ A và từ B đến bờ sông lần lượt là 118m và 487m. Một người đi từ A đến bờ sông để lấy nước mang về B. Đoạn đường ngắn nhất mà người đó có thể đi là: