Cho hàm số \(y={{x}^{4}}-2\left( 1-{{m}^{2}} \right){{x}^{2}}+m+1\). Tìm tất các giá trị của tham số m để hàm số cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị lập thành một tam giác có diện tích lớn nhất
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTập xác định \(D=\mathbb{R}\)
Ta có \(y'=4{{x}^{3}}-4\left( 1-{{m}^{2}} \right)x\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=0 \\ & {{x}^{2}}=1-{{m}^{2}} \\ \end{align} \right.\)
Hàm số đã cho có ba điểm cực trị \(\Leftrightarrow \) phương trình y’ = 0 có ba nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow \) Phương trình \({{x}^{2}}=1-{{m}^{2}}\) có hai nghiệm phân biệt khác 0 \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & 1-{{m}^{2}}>0 \\ & 1-{{m}^{2}}\ne 0 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow -1<m<1\)
Khi đó gọi ba điểm cực trị là
\(A\left( 0;1+m \right),\,\,B\left( \sqrt{1-{{m}^{2}}};m+2{{m}^{2}}-{{m}^{4}} \right),\,\,C\left( -\sqrt{1-{{m}^{2}}};m+2{{m}^{2}}-{{m}^{4}} \right)\)
Ta có: \(BC=\left| {{x}_{C}}-{{x}_{B}} \right|=2\sqrt{1-{{m}^{2}}};\,\,d\left( A;BC \right)={{\left( 1-{{m}^{2}} \right)}^{2}}\)
Lại có: \({{S}_{ABC}}=\frac{1}{2}BC.d\left( A,BC \right)={{\left( 1-{{m}^{2}} \right)}^{2}}\sqrt{1-{{m}^{2}}}\le 1\Rightarrow {{S}_{\max }}=1\) khi m = 0