Cho hàm số \(y=f(x)\) liên tục và có bảng biến thiên trên đoạn \([ - 1;\,\,3]\) như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây đúng ?

Một cái trục lăn sơn nước có dạng một hình trụ. Đường kính của đường tròn đáy là 5 cm, chiều dài lăn là 23 cm (hình bên). Sau khi lăn trọn 10 vòng thì trục lăn tạo nên tường phẳng lớp sơn có diện tích là

Cho hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{x + 2}}\) có đồ thị (C) và đường thẳng \(d:y =  - 2x + m - 1\) (\(m\) là tham số thực). Gọi \(k_1, k_2\) là hệ số góc của tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của d và (C). Tính tích \(k_1, k_2\).

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):x - 2y + 2z - 2 = 0\) và điểm \(I\left( { - 1;\,2;\, - 1} \right)\). Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 5.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh \(a\). Cạnh bên \(SA = a\sqrt 6 \) và vuông góc với đáy (ABCD). Tính theo  diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối chóp

Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên R và \(f\left( 3 \right) = 21\), \(\int\limits_0^3 {f\left( x \right){\rm{d}}x}  = 9\). Tính tích phân \(I = \int\limits_0^1 {x.f'\left( {3x} \right){\rm{d}}x} \).

Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\). Gọi M là trung điểm của AB. Mặt phẳng (MA'C') cắt cạnh BC của hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\) tại N. Tính \(k = \frac{{MN}}{{A'C'}}\).

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \(4{\cos ^3}x - \cos 2x + \left( {m - 3} \right)\cos x - 1 = 0\) có đúng bốn nghiệm khác nhau thuộc khoảng \(\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\)?

Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) bất phương trình \({4^{x - 1}} - m\left( {{2^x} + 1} \right) > 0\) nghiệm đúng với mọi \(x \in R\).

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng \(2a\). Tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết thể tích khối chóp S.ABCD bằng \(\frac{{4{a^3}}}{3}\). Tính độ dài SC.

Tích tất cả các nghiệm của phương trình \({3^{{x^2} + x}} = 9\) bằng

Cho hàm số \(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) \(\left( {a,b,c,d \in R} \right)\). Hàm số \(y = f'\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ. Hàm số đã cho có thể là hàm số nào trong các hàm số dưới đây?

Điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn số phức \(z\). Tìm phần thực và phần ảo của số phức .

Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị \(y = 2x - {x^2}\) và trục hoành. Tính thể tích V vật thể tròn xoay sinh ra khi cho (H) quay quanh Ox.

Cho hàm số \(f(x)\) xác định, liên tục trên \(R\backslash \left\{ { - 1} \right\}\) và có bảng biến thiên như sau:

Khẳng định nào sau đây là sai ?

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm \(M\left( { - 3;3; - 3} \right)\) thuộc mặt phẳng \(\left( \alpha  \right):2x--2y + z + 15 = 0\) và mặt cầu \(\left( S \right):{(x - 2)^2} + {(y - 3)^2} + {(z - 5)^2} = 100\). Đường thẳng \(\Delta \) qua M nằm trên mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) cắt (S) tại A, B sao cho độ dài AB lớn nhất. Viết phương trình đường thẳng \(\Delta \).

Cho một cấp số cộng \(({u_n})\), biết \({u_1} = \frac{1}{3};\,\,{u_8} = 26\). Tìm công sai \(d\)?

Cho hàm số \(y = {x^4} - 2{x^2} + 2\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh \(a\). Hình chiếu vuông góc của điểm A' lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC. Biết khoảng cách giữa hai đường AA' và BC bằng \(\frac{{a\sqrt 3 }}{4}\). Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC.A'B'C'.

Ba anh em An, Bình và Cường cùng vay tiền ở một ngân hàng với lãi suất 0,7% với tổng số tiền vay là 1 tỉ đồng. Giả sử mỗi tháng ba người đều trả cho ngân hàng một số tiền như nhau để trừ vào tiền gốc và lãi. Để trả hết gốc và lãi cho ngân hàng thì An cần 10 tháng, Bình cần 15 tháng và Cường cần 25  tháng. Hỏi tổng số tiền mà ba anh em trả ở tháng thứ nhất cho ngân hàng là bao nhiêu (làm tròn đến hàng nghìn)?

Một vật chuyển động trong 4 giờ với vận tốc v (mk/h) phụ thuộc thời gian t (h) có đồ thị là một phần của đường parabol có đỉnh I(1;3) và trục đối xứng song song với trục tung như hình bên. Tính quãng đường s mà vật di chuyển được trong 4 giờ kể từ lúc xuất phát.