Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f\prime \left( x \right)={{\left( x+1 \right)}^{4}}{{\left( x-m \right)}^{5}}{{\left( x+3 \right)}^{3}}\) với mọi \(x\in \mathbb{R}\). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \({m \in [ - 5 ; 5 ]}\) để hàm số \(g\left( x \right)=f\left( \left| x \right| \right)\) có 3 điểm cực trị?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiDo hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đạo hàm với mọi \(x\in \mathbb{R}\) nên \(y=f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\), do đó hàm số \(g\left( x \right)=f\left( \left| x \right| \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\). Suy ra \(g\left( 0 \right)=f\left( 0 \right)\) là một số hữu hạn.
Xét trên khoảng \(\left( 0;+\infty\right): g\left( x \right)=f\left( x \right)\)
\(g\prime \left( x \right)=f\prime \left( x \right)={{\left( x+1 \right)}^{4}}{{\left( x-m \right)}^{5}}{{\left( x+3 \right)}^{3}}\)
\(g\prime \left( x \right)=0 \Leftrightarrow {{\left( x-m \right)}^{5}}=0 \Leftrightarrow x=m\)
- TH1: m=0 thì x=0. Khi đó x=0 là nghiệm bội lẻ của \(g\prime \left( x \right)\) nên \(g\prime \left( x \right)\) đổi dấu một lần qua x=0 suy ra hàm số \(g\left( x \right)\) có duy nhất một điểm cực trị là x=0.
- TH2: m<0 thì \(g\prime \left( x \right)\) vô nghiệm, suy ra \(g\prime \left( x \right)>0\) với mọi x>0
Hàm số \(y=g\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng \( \left( 0;+\infty\right)\).
Cả hai trường hợp trên đều có: hàm số \(g\left( x \right)=f\left( \left| x \right| \right)\) có duy nhất một điểm cực trị là x=0.
- TH 3: m>0 thì x=m là nghiệm bội lẻ của \(g\prime \left( x \right)\)
Bảng biến thiên của hàm số \(g\left( x \right)=f\left( \left| x \right| \right)\):
.png)
- Lại có \({m \in [ - 5 ; 5 ]}\) và m nguyên nên \(m\in \left\{ 1,2,3,4,5 \right\}\).
Vậy có 5 giá trị nguyên của m.
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Nguyễn Văn Cừ lần 2
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian Oxyz, cho điểm \(M\left( -3\ ;\ -2\ ;\ 1 \right)\). Hình chiếu vuông góc của điểm M lên mặt phẳng \(\left( Oxy \right)\) là điểm:
-
Hình vuông OABC có cạnh bằng 4 được chia thành hai phần bởi đường cong \(\left( C \right)\) có phương trình \(y=\frac{1}{4}\,{{x}^{2}}\). Gọi \({{S}_{1}}\,,\,\,{{S}_{2}}\) lần lượt là diện tích của phần không bị gạch và bị gạch như hình vẽ bên dưới. Tỉ số \(\frac{{{S}_{1}}}{{{S}_{2}}}\) bằng
.jpg)
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ \frac{1}{2};\,\,2 \right]\) và thỏa điều kiện \(f\left( x \right)+2.f\left( \frac{1}{x} \right)=3x\,\,\,\forall x\in {{\mathbb{R}}^{*}}\). Tính \(I=\int\limits_{\frac{1}{2}}^{2}{\frac{f\left( x \right)}{x}dx}\).
-
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(M\left( 3;-2;5 \right), N\left( -1;6;-3 \right)\). Mặt cầu đường kính MN có phương trình là:
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, \(SA\bot \left( ABCD \right)\). Gọi I là trung điểm của SC. Khoảng cách từ I đến mặt phẳng \(\left( ABCD \right)\) bằng độ dài đoạn thẳng nào?
-
Cho hàm số \(y=\frac{x-1}{x+2}\). Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng?
-
Biết hai đồ thị hàm số \(y={{x}^{3}}+{{x}^{2}}-2\) và \(y=-{{x}^{2}}+x\) cắt nhau tại ba điểm phân biệt \(A,\,B,\,C\). Khi đó diện tích tam giác ABC bằng
-
Cho cấp số cộng \(\left( {{u}_{n}} \right)\) có số hạng đầu \({{u}_{1}}=2\) và công sai d=5. Giá trị của \({{u}_{5}}\) bằng
-
Tập nghiệm của bất phương trình \({{\left( \frac{1}{1+{{a}^{2}}} \right)}^{2x+1}}>1\) là
-
Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng 2a, cạnh bên bằng 3a. Gọi \(\alpha \) là góc giữa mặt bên và mặt đáy, mệnh đề nào dưới đây đúng?
-
Trong không gian Oxyz, cho điểm M(3;2;-1) và mặt phẳng (P):x+z-2=0. Đường thẳng đi qua M và vuông góc với (P) có phương trình là
-
Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng \(\left( P \right):2x-y+z-1=0\). Điểm nào dưới đây thuộc \(\left( P \right)\)?
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có một nguyên hàm là \(F\left( x \right)\). Biết \(F\left( 1 \right)=8\), giá trị \(F\left( 9 \right)\) được tính bằng công thức
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đạo hàm \({f}'\left( x \right)=\left( x+2 \right){{\left( x-1 \right)}^{3}}\left( 3-x \right)\). Hàm số đạt cực tiểu tại
-
Gọi \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)={{\text{e}}^{-x}}+\cos x\). Tìm khẳng định đúng.
-
Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) có đáy ABC là tam giác vuông tại C, biết AB=2a, AC=a, BC'=2a. Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.
-
Cho số phức \(z=5-2i\). Tìm số phức \(w=iz+\overline{z}\).
-
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l} x = 2 - t\\ y = 1 + 2t\\ z = 3 + t \end{array} \right.\) có một véctơ chỉ phương là
-
Cho hàm số \(y=f(\,x\,)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng xét dấu của đạo hàm như hình vẽ sau
.png)
Hàm số đã cho có bao nhiêu điểm cực trị?
-
Tổng các nghiệm của phương trình \({{\log }_{\frac{1}{2}}}\left( {{x}^{2}}-5x+7 \right)=0\) bằng
