Cho các số thực \(x, y\) thay đổi nhưng luôn thỏa mãn \(3{x^2} - 2xy - {y^2} = 5\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = {x^2} + xy + 2{y^2}\) thuộc khoảng nào sau đây?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có
\(\begin{array}{l} 3{x^2} - 2xy - 2{y^2} = 5\\ \Rightarrow x \ne 0\\ \Rightarrow {x^2} + xy + {y^2} > 0 \end{array}\)
Xét biểu thức
\(\begin{array}{l} M = \frac{5}{P} = \frac{{3{x^2} - 2xy - 2{y^2}}}{{{x^2} + xy + {y^2}}}\\ = \frac{{3 - 2.\frac{y}{x} - 2.{{\left( {\frac{y}{x}} \right)}^2}}}{{1 + \frac{y}{x} + {{\left( {\frac{y}{x}} \right)}^2}}}. \end{array}\)
Đặt \({y \over x}=t\), ta có
\(\begin{array}{l} M = \frac{{3 - 2t - 2{t^2}}}{{1 + t + {t^2}}}\\ \Leftrightarrow \left( {M + 2} \right){t^2} + \left( {M + 2} \right)t + M - 3 = 0\,\,(*) \end{array}\)
Khi đó phương trình (*) có nghiệm
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {M + 2} \right)^2} - 4\left( {M + 2} \right)\left( {M - 3} \right) \ge 0\,\\ \Leftrightarrow - 2 \le m \le \frac{{14}}{3}\, \end{array}\)
Do P>0 nên ta có
\(0 < \frac{5}{P} \le \frac{{14}}{3} \Rightarrow P \ge \frac{{15}}{{14}}\)
Dấu bằng xảy ra khi \(\left( {x;y} \right) = \left( {\frac{{\sqrt {70} }}{7}; - \frac{{\sqrt {70} }}{{14}}} \right);\left( { - \frac{{\sqrt {70} }}{7};\frac{{\sqrt {70} }}{{14}}} \right)\)
Vậy giá trị nỏ nhất của biểu thức P bằng \(15 \over 14\).
Đề thi thử THPT QG môn Toán năm 2019
Trường THPT Chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa lần 2
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian Oxyz cho mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y - 6z - 2 = 0\) và mặt phẳng \(\left( \alpha \right):4x + 3y - 12z + 10 = 0\). Lập phương trình mặt phẳng \(\left( \beta \right)\) thỏa mãn đồng thời các điều kiện: Tiếp xúc với (S), song song với \(\left( \alpha \right)\) và cắt trục Oz ở điểm có cao độ dương
-
Một khối trụ bán kính đáy là \(a\sqrt 3 \), chiều cao là \(2a\sqrt 3 \). Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp khối trụ.
.png)
-
Trong không gian Oxyz cho điểm A(1;1;2) và B(3;4;5). Tọa độ vecto \(\overrightarrow {AB} \) là:
-
Cho hàm số \(y=f(x)\), liên tục trên R và có bảng biến thiên như hình vẽ bên. Tìm số nghiệm thực của phương trình \(2f\left( x \right) + 7 = 0\)
.PNG)
-
Điểm M trong hình vẽ biểu diễn số phức z. Chọn kết luận đúng về số phức \(\overline z \)
.png)
-
Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \sin \,x + {e^x} - 5x\) ?
-
Cho hàm số \(y=f(x)\) liên tục trên đoạn [- 2;6], có đồ thị hàm số như hình vẽ. Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của \(f(x)\) trên miền [- 2;6]. Tính giá trị của biểu thức \(T=2M+3m\).
.png)
-
Cho hàm số \(y=f(x)\) có bảng biến thiên như hình vẽ bên. Giá trị cực tiểu của hàm số là số nào sau đây?
.PNG)
-
Giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{5x - 3}}{{1 - 2x}}\) bằng số nào sau đây?
-
Cho khối lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có BB' = a, đáy ABC là tam giác vuông cân tại \(B,AC = a\sqrt 2 \). Tính thể tích lăng trụ.
.png)
-
Cho các số thực \(a, b, c, d\) thay đổi, luôn thỏa mãn \({\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b - 2} \right)^2} = 1\) và \(4c - 3d - 23 = 0\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = {\left( {a - c} \right)^2} + {\left( {b - d} \right)^2}\) là:
-
Cho hàm số \(y=f(x)\) có đồ thị như hình vẽ bên. Hàm số \(y=f(x)\) đồng biến trên khoảng nào sau đây:
.png)
-
Với \(a, b\) là hai số dương tùy ý thì \(\log \left( {{a^3}{b^2}} \right)\) có giá trị bằng biểu thức nào sau đây?
-
Bảng biến thiên trong hình vẽ bên là của hàm số nào trong các hàm số sau đây:
.PNG)
-
Cho \(\int\limits_0^2 {2x\ln \left( {1 + x} \right)dx = a\ln b} \) với \(a,b \in {N^*}\) và b là số nguyên tố. Tính \(3a+4b\).
-
Cho khối tứ diện ABCD có thể tích là V. Gọi E, F, G lần lượt là trung điểm BC, BD, CD và M, N, P, Q lần lượt là trọng tâm \(\Delta ABC,\Delta ABD,\Delta ACD,\Delta BCD\). Tính thể tích khối tứ diện MNPQ theo V.
.png)
-
Số nghiệm nguyên của bất phương trình \({2^{{x^2} + 3x}} \le 16\) là số nào sau đây?
-
Tập nghiệm của phương trình \({\log _3}\left( {{x^2} - 4x + 9} \right) = 2\) là:
-
Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^4} - 2m{x^2} + 4 - 2{m^2}\). Có tất cả bao nhiêu số nguyên \(m \in \left( { - 10;10} \right)\) để hàm số \(y = \left| {\pi f\left( x \right)} \right|\) có đúng 3 cực trị.
-
Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thoi tâm O và \(SO \bot \left( {ABCD} \right),SO = \frac{{a\sqrt 6 }}{3},BC = SB = a\). Số đo góc giữa 2 mặt phẳng (SBC) và (SCD) là:
.png)
