Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm \(A\left( {0;{\rm{ }}1;{\rm{ }}1} \right), B\left( {3;{\rm{ }}0; – 1} \right), C\left( {0;{\rm{ }}21; – 19} \right)\) và mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 1} \right)^2} + {\left( {z – 1} \right)^2} = 1\). \(M\left( {a;{\rm{ }}b;{\rm{ }}c} \right)\) là điểm thuộc mặt cầu \(\left( S \right)\) sao cho biểu thức \(T = 3M{A^2} + 2M{B^2} + M{C^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng a + b + c.
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\left( S \right):{\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 1} \right)^2} + {\left( {z – 1} \right)^2} = 1\) có tâm \(I\left( {1;{\rm{ }}1;{\rm{ }}1} \right)\)
Gọi \(G\left( {x;\,y;\,z} \right)\) là điểm thỏa \(3\overrightarrow {GA} + 2\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \), khi đó
\(\left\{ \begin{array}{l}3\left( {0 – x} \right) + 2\left( {3 – x} \right) + \left( {0 – x} \right) = 0\\3\left( {1 – y} \right) + 2\left( {0 – y} \right) + \left( {21 – y} \right) = 0\\3\left( {1 – z} \right) + 2\left( { – 1 – z} \right) + \left( { – 19 – z} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 4\\z = – 3\end{array} \right. \Rightarrow G\left( {1;{\rm{ }}4; – 3} \right)\)
Lúc này ta có:
\(\begin{array}{c}T = 3M{A^2} + 2M{B^2} + M{C^2}\\ = 3M{G^2} + 6\overrightarrow {MG} .\overrightarrow {GA} + 3G{A^2} + 2M{G^2} + 4\overrightarrow {MG} .\overrightarrow {GB} + 2G{B^2} + M{G^2} + 2\overrightarrow {MG} .\overrightarrow {GC} + G{C^2}\\ = 6M{G^2} + 2\overrightarrow {MG} \left( {3\overrightarrow {GA} + 2\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} } \right) + 3G{A^2} + 2G{B^2} + G{C^2}\\ = 6M{G^2} + 3G{A^2} + 2G{B^2} + G{C^2}\end{array}\)
Vì \(3G{A^2} + 2G{B^2} + G{C^2}\) có giá trị là một số thực không đổi nên T đạt giá trị nhỏ nhất khi MG nhỏ nhất. Kho đó M là một trong hai giao điểm của đường thẳng IG và mặt cầu \(\left( S \right)\).
Phương trình đường thẳng \(IG:\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 1 + 3t\\z = 1 – 4t\end{array} \right.\)
\(M = IG \cap \left( S \right)\) nên tọa độ M là nghiệm của hệ
\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 1 + 3t\\z = 1 – 4t\\{\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y – 1} \right)^2} + {\left( {z – 1} \right)^2} = 1\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{1}{5}\\t = – \frac{1}{5}\end{array} \right.\). Khi đó: \(\left[ \begin{array}{l}{M_1}\left( {1;\,\frac{8}{5};\,\frac{1}{5}} \right)\\{M_2}\left( {1;\,\frac{2}{5};\,\frac{9}{5}} \right)\end{array} \right.\)
Vì \({M_1}G < {M_2}G\) nên điểm \(M \equiv {M_1}\left( {1;\,\frac{8}{5};\,\frac{1}{5}} \right)\)
Vậy \(a + b + c = \frac{{14}}{5}\).
