Trên mặt phẳng Oxy, cho hình phẳng ( ) H giới hạn bởi các đường \(\begin{aligned}
&(P): y=x^{2},\left(P^{\prime}\right): y=4 x^{2} \text { và }
\text { (d): } y=4
\end{aligned}\) . Thể tích của khối tròn xoay khi quay (H ) quanh trục
Ox bằng
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai
Xét phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d):
\(x^{2}=4 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} x=2 \\ x=-2 \end{array}\right.\)
Xét phương trình hoành độ giao điểm của (P’) và (d):
\(4 x^{2}=4 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} x=1 \\ x=-1 \end{array}\right.\)
Đặt V là thể tích cần tìm.
VOAC là thể tích khối tròn xoay sinh bởi khi quay (H'): \(\left\{\begin{array}{l} y=x^{2} \\ y=4 \\ O y \end{array}\right.\) quanh Ox.
VOAB là thể tích khối tròn xoay sinh bởi khi quay (H''): \(\left\{\begin{array}{l}
y=4 x^{2} \\
y=4 \\
O y
\end{array}\right.\) quanh Ox.
Khi đó
\(\begin{aligned} V=V_{O A C}-V_{O A B} &=\pi \int_{0}^{2}\left[4-\left(x^{2}\right)^{2}\right] \mathrm{d} x-\pi \int_{0}^{2}\left[4-\left(4 x^{2}\right)^{2}\right] \mathrm{d} x=\pi \int_{0}^{2}\left(4-x^{4}\right) \mathrm{d} x-\pi \int_{0}^{1}\left(4-16 x^{4}\right) \mathrm{d} x \\ &=\left.\pi\left(4 x-\frac{x^{5}}{5}\right)\right|_{0} ^{2}-\left.\pi\left(4 x-16 \cdot \frac{x^{5}}{5}\right)\right|_{0} ^{1}=\pi\left(8-\frac{32}{5}-4+\frac{16}{5}\right)=\frac{4 \pi}{5}(\text { d.v.t.t }) \end{aligned}\)
Câu hỏi liên quan
-
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + 1\), trục hoành và hai đường thẳng \(x=0\) và \(x = {{7\pi } \over 6}\)
-
Một vật có kích thước và hình dáng như hình vẽ dưới đây. Đáy là hình tròn giới hạn bởi đường tròn \(x^2+y^2=16\) (nằm trong mặt phẳng Oxy), cắt vật bởi các mặt phẳng vuông góc với trục Ox ta được thiết diện là hình vuông. Thể tích của vật thể là
.PNG)
-
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
\(\displaystyle y = {x^3} - {x^2}\) và \(\displaystyle y = \frac{1}{9}(x - 1)\)
-
Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường \(\displaystyle {y_1} = {x^3};{y_2} = 4x\) bằng
-
Diện tích hình phẳng \(\displaystyle P\) giới hạn bởi các đường \(\displaystyle {y_1} = x,{y_2} = 2x,{y_3} = 2 - x\) bằng:
-
Kí hiệu S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(x=g(y)\), trục tung và hai đường thẳng \(y=a, y=b\) , như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây đúng?
-
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y=x^{2}-2 x+1, y=x+1, x=0, x=m,(0<m<3)\) bằng:
-
Một vật từ trạng thái nghỉ t=0(s) chuyển động thẳng với vân tốc \(v(t)=t(6-t)(m / s)\) . Tính quãng đường vật đi được cho đến khi nó dừng lại.
-
Cho hàm số y=f( x ) liên tục trên đoạn [ a;b ]. Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f( x ), trục hoành và hai đường thẳng x=a,x=b ( a<b ). Thể tích của khối của khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành được tính theo công thức:
-
Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường \( {y_1} = {x^3};{y_2} = 4x\) bằng
-
Một ô tô đang chạy với vận tốc 18 (m/s) thì người lái hãm phang. Sau khi hãm phanh ô tô chuyển động chậm dẫn đều với vận tốc \(v(t)=18-36 t(\mathrm{~m} / \mathrm{s})\) , trong đó t là khoảng thời gian được tính bằng giây kể từ lúc ô tô bắt đầu hãm phanh. Tính quãng đường ô tô đi được kể từ lúc hãm phang cho đến khi dừng hẳn.
-
Cho hàm số \(y=4-x^{4}\) có đồ thị (C) , khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục Ox , quanh trục Oy có thể tích là
-
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = 2{x^2}\) và \(y = {x^4} - 2{x^2}\) trong miền \(x \ge 0.\)
-
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số \(y = x^3 - x;y = 2x \) và các đường thẳng x = - 1; x = 1 được xác định bởi công thức:
-
Một cổng chào có dạng hình parabol chiều cao 18m, chiều rộng chân đế 12m. Người ta căng sợi dây trang trí AB, CD nằm ngang đồng thời chia hình giới hạn bởi parabol thành ba phần có diện tích bằng nhau (xem hình vẽ bên). Tỉ số \( \frac{{AB}}{{CD}}\)
-
Một chất điểm A xuất phát từ O, chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời gian bởi quy luật \(v(t)=\frac{1}{180} t^{2}+\frac{11}{18} t(\mathrm{~m} / \mathrm{s})\), trong đó t (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc A bắt đầu chuyển động. Từ trạng thái nghỉ, một chất điểm B cũng xuất phát từ O, chuyển động thẳng cùng hướng với A nhưng chậm hơn 5 giây so với A và có gia tốc bằng \(a\left(\mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}\right)\) (a là hằng số). Sau khi B xuất phát được 10 giây thì đuổi kịp A . Vận tốc của B tại thời điểm đuổi kip A bằn
-
Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=f( x ) \) liên tục trên đoạn [ 1; 3 ], trục Ox và hai đường thẳng (x=1, x=3 ) có diện tích là:
-
Cho hình phẳng \(\displaystyle H\) giới hạn bởi các đường \(\displaystyle y = f\left( x \right)\), \(\displaystyle y = 0\), \(\displaystyle x = b\) và \(\displaystyle x = a\) (trong đó hàm số \(\displaystyle f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\displaystyle \left[ {b;a} \right]\)). Thể tích khối tròn xoay tạo nên bởi phép quay hình \(\displaystyle H\) quanh trục \(\displaystyle Ox\) được cho bởi công thức:
-
Quay hình phẳng Q giới hạn bởi các đường y1=sinx và \( {y_2} = \frac{{2x}}{\pi }\) quanh trục Ox, ta được một khối tròn xoay. Khi đó thể tích của khối tròn xoay này bằng
-
Kí hiệu S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=f(x)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x=a, x=b\) , như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây đúng?
