Tính \(J = \mathop \smallint \nolimits_2^3 \frac{{2x + 3}}{{{x^3} - 3x + 2}}dx\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có: \({x^3} - 3x + 2 = {\left( {x - 1} \right)^2}\left( {x + 2} \right)\)
\(\begin{array}{l}
2x + 3 = a{\left( {x - 1} \right)^2} + b\left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right) + c\left( {x + 2} \right)\\
\Leftrightarrow 2x + 3 = \left( {a + b} \right){x^2} + \left( {c - 2a + b} \right)x + a - 2b + 2c
\end{array}\)
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{a + b = 0}\\
{ - 2a + b + c = 2}\\
{a - 2b + 2c = 3}
\end{array}} \right.\\
\Leftrightarrow a = - \frac{1}{9},b = \frac{1}{9},c = \frac{5}{3}
\end{array}\)
\(\begin{array}{l}
J = \mathop \smallint \nolimits_2^3 \left[ { - \frac{1}{9}\frac{1}{{x + 2}} + \frac{1}{9}\frac{1}{{x - 1}} + \frac{5}{3}\frac{1}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}} \right]dx\\
\; = \left( {\frac{1}{9}\ln \left| {\frac{{x - 1}}{{x + 2}}} \right| - \frac{5}{{3\left( {x - 1} \right)}}} \right)|_2^3 = \frac{1}{9}\ln \frac{8}{5} + \frac{5}{6}
\end{array}\)
Câu hỏi liên quan
-
Tính \(I=\int_{0}^{1}\left(\frac{1}{2 x+1}+3 \sqrt{x}\right) \mathrm{d} x\)
-
Tích phân \(I=\int\limits_{-1}^{0} x \sqrt[3]{x+1} d x\) có giá trị là
-
Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm liên tục trên R và \(f(x)>0 \text { khi } x \in[0 ; a](a>0)\). Biết \(f(x) \cdot f(a-x)=1\) , tính tích phân \(I=\int_{0}^{a} \frac{d x}{1+f(x)}\)?
-
Tính tích phân \(I=\int\limits_{0}^{2}{\max \left\{ {{x}^{3}},x \right\}}\text{d}x\).
-
Tính \(I = \mathop \smallint \nolimits_{ - \frac{1}{2}}^3 \frac{{xdx}}{{\sqrt[3]{{2x + 2}}}}\)
-
Thể tích khối tròn xoay sinh ra do quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x3, trục Ox, x = −1, x = 1 một vòng quanh trục Ox là:
-
Tích phân \(\int_{1}^{e}(2 x-5) \ln x d x\) bằng
-
Cho tích phân \(I = \mathop \smallint \limits_2^3 \frac{{dx}}{{x\sqrt {{x^3} + 1} }}\). Xác định 3a+b biết \(I = a\ln \left( {29 - 2\sqrt {27} } \right) + b\ln 3 + a\ln 2.\) \( (a,b \in \mathbb{R})\)
-
Cho hàm số y=f(x) liên tục trên [a;b], có đồ thị y=f'(x) như hình vẽ sau
Mệnh đề nào dưới đây đúng?
-
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = −x, y = 2x − x2 có kết quả là
-
Tính tích phân \(\mathop \smallint \nolimits_0^1 x.{e^x}dx\)
-
Cho hàm số \(f(x) \neq 0\) thỏa mãn điều kiện \(f^{\prime}(x)=(2 x+3) \cdot f^{2}(x) \text { và } f(0)=\frac{-1}{2}\) . Biết tổng \(f(1)+f(2)+\ldots+f(2017)+f(2018)=\frac{a}{b} \text { với } a \in \mathbb{Z}, b \in \mathbb{N}^{*} \text { và } \frac{a}{b}\) là phân số tối giản.
Mệnh đề nào sau đây đúng? -
Cho hàm số f(x) thỏa mãn \(f(2)=-\frac{2}{9}\)và \(f^{\prime}(x)=2 x[f(x)]^{2}, \forall x \in \mathbb{R}\) Giá trị của f(1) bằng
-
Giá trị của tích phân \(\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\text{max}\left\{ \sin x,\cos x \right\}\text{d}x}\) bằng
-
Cho hàm số f (x) có đạo hàm và đồng biến trên ℝ thỏa mãn \(f(0)=1 \text { và }\left(f^{\prime}(x)\right)^{2}=e^{x} f(x), \forall x \in \mathbb{R}\) . Tính tích phân \(\int_{0}^{1} f(x) d x\) bằng?
-
Giá trị của tích phân \(I=\int_{0}^{\ln 3} \frac{e^{x}}{\left(e^{x}+1\right)^{3}} d x\) là
-
Cho hàm số y=f(x) liên tục trên ℝ . Biết \(f\left(x^{3}+2 x-2\right)=3 x-1\) . Giá trị của \(I=\int\limits_{1}^{10} f(x) d x\) là:
-
Cho hình phẳng (D) được giới hạn bởi các đường\(x=0, x=\pi, y=0 \text { và } y=-\sin x.\) Thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay (D) xung quanh trục Ox được tính theo công thức
. -
Tính tích phân \(I = \int\limits_0^1 {\frac{{{\rm{d}}x}}{{3 – 2x}}} \)
-
Tính thể tích V của vật thể tròn xoay sinh ra khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y=\frac{1}{x}, y=0, x=1, x=a,(a>1)\) quay xung quanh trục Ox .
