Cho x , y là các số thực dương thỏa mãn \(\begin{aligned} \log _{25} \frac{x}{2}=\log _{15} y=\log _{9} \frac{x+y}{4} \end{aligned}\) và \(\frac{x}{y}=\frac{-a+\sqrt{b}}{2}\) với a , b là các số nguyên dương. Tính a+b.
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\begin{aligned} &\text { Ta có } \log _{25} \frac{x}{2}=\log _{15} y=\log _{9} \frac{x+y}{4} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l} y=15^{\log _{25} \frac{x}{2}} \\ \log _{9} \frac{x+15^{\log _{25} \frac{x}{2}}}{4}=\log _{25} \frac{x}{2} \end{array}\right.\\ &\text { Đặt } t=\log _{25} \frac{x}{2} \Rightarrow x=2.25^{t}, \text { ta được } 2.25^{t}+15^{t}=4.9^{t} \Leftrightarrow 2\left(\frac{5}{3}\right)^{2 t}+\left(\frac{5}{3}\right)^{t}=4\\ &\Rightarrow t=\log _{\frac{5}{3}} \frac{-1+\sqrt{33}}{4} \Rightarrow \frac{x}{y}=\frac{2.25^{t}}{15^{t}}=2 \cdot\left(\frac{5}{3}\right)^{t}=\frac{-1+\sqrt{33}}{2}\\ &\text { Do đó } a=1, b=33 \text { nên } a+b=34 \text { . } \end{aligned}\)
