Cho hàm số \(f(x)=\left\{\begin{array}{lll} 2 x^{2}+x & \text { khi } & x \geq 0 \\ x \cdot \sin x & \text { khi } & x \leq 0 \end{array}\right.\). Tính tích phân \(I=\int_{-\pi}^{1} f(x) \mathrm{d} x\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có: \(\lim\limits _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=\lim\limits _{x \rightarrow 0^{-}} f(x)=f(0)=0\). nên hàm số liên tục tại x = 0 . Do đó hàm số liên tục trên đoạn \([-\pi ; 1]\).
Ta có:
\(I=\int\limits_{-\pi}^{1} f(x) \mathrm{d} x=\int\limits_{-\pi}^{0} f(x) \mathrm{d} x+\int\limits_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=\int\limits_{-\pi}^{0} x \cdot \sin x \mathrm{d} x+\int\limits_{0}^{1}\left(2 x^{2}+x\right) \mathrm{d} x=I_{1}+I_{2}\)
Tính \(I_{1}=\int\limits_{-\pi}^{0} x \cdot \sin x \mathrm{d} x\)
Đặt \(\left\{\begin{array}{l} u=x \\ \mathrm{d} v=\sin x \mathrm{d} x \end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l} \mathrm{d} u=\mathrm{d} x \\ v=-\cos x \end{array}\right.\right.\)
\(I_{1}=\left.(-x \cos x)\right|_{-\pi} ^{0}+\int_{-\pi}^{0} \cos x \mathrm{d} x=\left.(-x \cos x)\right|_{-\pi} ^{0}+\left.\sin x\right|_{-\pi} ^{0}=\pi\)
\(I_{2}=\int_{0}^{1}\left(2 x^{2}+x\right) \mathrm{d} x=\left.\left(\frac{2 x^{3}}{3}+\frac{x^{2}}{2}\right)\right|_{0} ^{1}=\frac{7}{6}\)
Vậy \(I=I_{1}+I_{2}=\frac{7}{6}+\pi\)
