Cho hàm số \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x^2} - x}&{{\rm{ khi }}x \ge 0}\\ x&{{\rm{ khi }}x < 0} \end{array}} \right.\). Khi đó \(I=2\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\cos xf\left( \sin x \right)}dx+2\int\limits_{0}^{2}{f\left( 3-2x \right)}dx\) bằng
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có: \(I=2\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\cos xf\left( \sin x \right)}dx+2\int\limits_{0}^{2}{f\left( 3-2x \right)}dx={{I}_{1}}+{{I}_{2}}\)
Đặt \(t=\sin x\Rightarrow dt=\cos xdx\). Đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l} x = 0 \Rightarrow t = 0\\ x = \frac{\pi }{2} \Rightarrow t = 1 \end{array} \right.\).
\(\Rightarrow {{I}_{1}}=2\int\limits_{0}^{1}{f\left( t \right)dt}=\int\limits_{-1}^{1}{f\left( t \right)dt}=\int\limits_{-1}^{1}{f\left( x \right)dx}\)
Do \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x^2} - x}&{{\rm{ khi }}x \ge 0}\\ x&{{\rm{ khi }}x < 0} \end{array}} \right.\)
\(\Rightarrow {{I}_{1}}=\int\limits_{-1}^{0}{xdx}+\int\limits_{0}^{1}{\left( {{x}^{2}}-x \right)dx}=-\frac{2}{3}\).
Đặt \(t=3-2x\Rightarrow dt=-2dx\Rightarrow dx=-\frac{1}{2}dt\). Đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l} x = 0 \Rightarrow t = 3\\ x = 2 \Rightarrow t = - 1 \end{array} \right.\).
\(\Rightarrow {{I}_{2}}=\int\limits_{-1}^{3}{f\left( t \right)dt}=\int\limits_{-1}^{3}{f\left( x \right)dx}\)
Do \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{x^2} - x}&{{\rm{ khi }}x \ge 0}\\ x&{{\rm{ khi }}x < 0} \end{array}} \right.\)
\(\Rightarrow {{I}_{2}}=\left( \int\limits_{-1}^{0}{xdx}+\int\limits_{0}^{3}{\left( {{x}^{2}}-x \right)dx} \right)=4\).
Vậy \(I={{I}_{1}}+{{I}_{2}}=\frac{10}{3}\)
Câu hỏi liên quan
-
Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong \(y = e^x\) , trục hoành và các đường thẳng x = 0 , x =1. Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng bao nhiêu?
-
Giá trị của tích phân \(I=\int\limits_{0}^{\frac{\pi}{2}}\left(\sin ^{4} x+\cos ^{4} x\right)\left(\sin ^{6} x+\cos ^{6} x\right) d x\) là
-
Nếu \(\int\limits_0^m {\left( {2x – 1} \right){\rm{d}}x} = 2\) thì m có giá trị bằng
-
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong: y = x2+1, tiếp tuyến với đường cong này tại M(2;5) và trục Oy là:
-
Cho hai tích phân \(I=\int_{0}^{2} x^{3} d x, J=\int_{0}^{2} x d x\) .Tìm mối quan hệ giữa I và J
-
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f’(x) liên tục trên đoạn [1; 4], f(1) = 12 và \(\mathop \smallint \nolimits_1^4 f'\left( x \right)dx\; = \;17\) . Giá trị của f(4) bằng
-
Tích phân \(K = \mathop \smallint \nolimits_2^3 \frac{x}{{{x^2} - 1}}\) bằng
-
Cho parabol (P) có đồ thị như hình vẽ:
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) với trục hoành.
-
Tích phân \(\int_{1}^{e}(2 x-5) \ln x d x\) bằng
-
Tính \(\int\limits_1^e {{x^2}\ln x{\rm{d}}x}\)
-
Giả sử \(\int_{3}^{5} \frac{\mathrm{d} x}{x^{2}-x}=a \ln 5+b \ln 3+c \ln 2 , \int_{3}^{5} \frac{d x}{x^{2}-x}=a \ln 5+b \ln 3+c \ln 2,\,(a, b, c \in \mathbb{Z})\) Tính giá trị biểu thức \(S=-2 a+b+3 c^{2}\)
-
Biết\(I=\int_{-1}^{0} \frac{3 x^{2}+5 x-1}{x-2} \mathrm{d} x=a \ln \frac{2}{3}+b, \text { với } a, b \in \mathbb{Q}\). Tính giá trị của a+2b
-
Cho tích phân:\(I=\int\limits_{1}^{e} \frac{\sqrt{1-\ln x}}{2 x} d x\) .Đặt \(u=\sqrt{1-\ln x}\) .Khi đó I bằng
-
Biết \(% MathType!MTEF!2!1!+- % feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaa8qCaeaada % qadaqaaiaaigdacqGHRaWkcaWG4baacaGLOaGaayzkaaGaci4yaiaa % c+gacaGGZbGaaGOmaiaadIhacaqGKbGaamiEaaWcbaGaaGimaaqaam % aalaaabaGaeqiWdahabaGaaGinaaaaa0Gaey4kIipakiabg2da9maa % laaabaGaaGymaaqaaiaadggaaaGaey4kaSYaaSaaaeaacqaHapaCae % aacaWGIbaaaaaa!4C8B! \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\left( {1 + x} \right)\cos 2x{\rm{d}}x} = \frac{1}{a} + \frac{\pi }{b}\) \((a, b \in Z^*)\). Giá trị của tích a.b bằng
-
Tính diện tích giới hạn bởi các đừơng cong y = (x - 1)ln(x + 1) và trục hoành
-
Biết \(I = \mathop \smallint \nolimits_0^1 \frac{x}{{4 - {x^2}}}dx = - \frac{1}{2}\ln \frac{a}{b}\) với \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản và a,b>0a,b>0 thì a2−ba2-b bằng
-
Biết \(% MathType!MTEF!2!1!+- % feaahqart1ev3aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn % hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr % 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9 % vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x % fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaa8qCaeaada % WcaaqaaiGacYgacaGGUbGaamiEaaqaamaakaaabaGaamiEaaWcbeaa % aaGccaqGKbGaamiEaaWcbaGaaGymaaqaaiaadwgaa0Gaey4kIipaki % abg2da9iaadggadaGcaaqaaiaadwgaaSqabaGccqGHRaWkcaWGIbaa % aa!44C6! \int\limits_1^e {\frac{{\ln x}}{{\sqrt x }}{\rm{d}}x} = a\sqrt e + b\) với a, b thuộc Z . Tính P = ab
-
Cho hàm số \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {3{x^2} + 2x}&{{\rm{ khi }}x \ge 0}\\ {5 - x}&{{\rm{ khi }}x < 0} \end{array}} \right.\). Khi đó \(I=\int\limits_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}{\cos xf\left( \sin x \right)}dx\) bằng
-
Biết\(\int_{0}^{3} \frac{\mathrm{d} x}{(x+2)(x+4)}=a \ln 2+b \ln 5+c \ln 7,(a, b, c \in \mathbb{Q})\). Giá trị của biểu thức bằng 2a+3b-c
-
Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm và liên tục trên đoạn [-1;1], thỏa mãn \(f(x)>0, \forall x \in \mathbb{R}\) và \(f^{\prime}(x)+2 f(x)=0\) . Biết\(f(1)=1, \text { tính } f(-1)\)
