Biết $\mathop \smallint \nolimits_0^1 \frac{{x + 2}}{{{x^2} + 4x + 7}}dx = a\ln \sqrt {12}  + b\ln \sqrt 7$, với a, b là các số nguyên. Tổng  a + b là :

Ta có tích phân $I = 4\mathop \smallint \nolimits_1^e x\left( {1 + \ln x} \right)dx = a.{e^2} + b.$. Tính M = ab+4(a+b) (trong đó a,b ∈ Z)

Tính diện tích S của hình phẳng (H ) giới hạn bởi đường cong $y=-x^{3}+12 x \text { và } y=-x^{2}$

Hàm số f(x) liên tục trên [-1;2] và thỏa mãn điều kiện $f(x)=\sqrt{x+2}+x f\left(3-x^{2}\right)$ . Tính giá trị của tích phân $I=\int_{-1}^{2} f(x) \mathrm{d} x$?

Biết rằng $\int\limits_{-1}^{1} \sqrt{4-x^{2}} \mathrm{d} x=\frac{2 \pi}{3}+a$. Khi đó a bằng:

Cho $\mathop \smallint \nolimits_1^3 f\left( x \right)dx =  - 5,\;\mathop \smallint \nolimits_1^3 \left[ {f\left( x \right) - 2g\left( x \right)} \right]dx = 9.$. Tính $I = \mathop \smallint \nolimits_1^3 g\left( x \right)dx$

Cho Cho hàm số f(x) liên tục trên R và thỏa mãn $\int\limits_0^{2021} {f(x)dx = 2}$. Tính tích phân $I = \int\limits_0^{\sqrt {{e^{2021}} – 1} } {\frac{x}{{{x^2} + 1}}.f\left( {\ln ({x^2} + 1)} \right).dx}$

Cho $\int_{-1}^{2} f(x) \mathrm{d} x=2 \text { và } \int_{-1}^{2} g(x) \mathrm{d} x=-1 . \text { Tính } I=\int_{-1}^{2}[x+2 f(x)-3 g(x)] \mathrm{d} x$

Cho hàm số f liên tục trên $\mathbb{R}$ và số thực dương a . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào luôn đúng?

Diện tích S hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=x^{3}+2 x+1$, trục hoành, x =1 và x = 2 là 

Cho $f\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)=\left| 1+x \right|-\left| 1-x \right|$ trên tập $\mathbb{R}$ và thỏa mãn $f\left( 1 \right)=3$. Tính tổng $f\left( 0 \right)+F\left( 2 \right)+F\left( -3 \right)$.

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b]. Mệnh đề nào dưới đây sai?

Tích phân $I=\int_{1}^{2} \frac{x^{2}}{x^{2}-7 x+12} d x$ có giá trị bằng
 

Cho hàm số f(x) liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $\int_{1}^{16} \frac{f(\sqrt{x})}{\sqrt{x}} \mathrm{~d} x=6 \text { và } \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(\sin x) \cos x \mathrm{~d} x=3$. Tính tích phân $I=\int_{0}^{4} f(x) \mathrm{d} x$

Giá trị của tích phân $I=\int_{e}^{e^{2}} \frac{d x}{x \ln x}$ là

Xét hình phẳng (H ) giới hạn bởi đồ thị hàm số $f(x)=a \sin x+b \cos x(\text { vói } a, b$ là các hằng số thực dương), trục hoành, trục tung và đường thẳng $x=\pi$ . Nếu vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay (H ) quanh trục Ox có thể tích bằng$\frac{5 \pi^{2}}{2} \text { và } f^{\prime}(0)=2 \text { thì } 2 a+5 b$ bằng:

Thể tích khối tròn xoay thu được khi quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=\sqrt{x} \mathrm{e}^{x}$, trục hoành và đường thẳng x=1 là:
 

Cho hàm số f(x) thỏa mãn $\left[x f^{\prime}(x)\right]^{2}+1=x^{2}\left[1-f(x) \cdot f^{\prime \prime}(x)\right]$ với mọi x dương. Biết $f(1)=f^{\prime}(1)=1$ . Giá trị $f^{2}(2)$ bằng 

Tích phân $I=\int_{1}^{2} 2 x \cdot d x$ có giá trị là 

Tích phân $I=\int_{0}^{1} \frac{1}{x^{2}-x-2}$ có giá trị bằng

Cho hàm số $f\left( x \right)$ xác định trên $\mathbb{R}\backslash \left\{ { – 2;1} \right\}$ thỏa mãn $f’\left( x \right) = \frac{1}{{{x^2} + x – 2}}; f\left( 0 \right) = \frac{1}{3}$ và $f\left( { – 3} \right) – f\left( 3 \right) = 0$. Tính giá trị biểu thức $T = f\left( { – 4} \right) + f\left( { – 1} \right) – f\left( 4 \right)$.