X là ĐLNN có hàm mật độ xác suất $f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} k{x^2},x \in \left( {0,1} \right)\\ 0,x \notin \left( {0,1} \right) \end{array} \right.$

Với $Y = 2\sqrt X$. Thì xác suất P(Y>1) là:

Gọi I là biến cố súng I bắn trúng, II là biến cố súng II bắn trúng. Theo đề bài, ta có: P(I) = 0.7, P(II) = 0.8.

A là biến cố "trong hai viên chỉ có một viên trúng", tức là (I trúng, II trượt) hoặc (I trượt, II trúng). Vậy A = (I ∩ II’) ∪ (I’ ∩ II).

B là biến cố "viên của súng I trúng", tức là B = I.

C là biến cố "cả hai viên trúng", tức là C = I ∩ II.

Tính P(A/C): Vì C là biến cố cả hai viên đều trúng, nên biến cố A (chỉ một viên trúng) không thể xảy ra khi C xảy ra. Vậy P(A/C) = 0.

Tính P(B/C): Vì C là biến cố cả hai viên đều trúng, tức là súng I trúng, nên biến cố B (súng I trúng) chắc chắn xảy ra khi C xảy ra. Vậy P(B/C) = 1.

Tính P(B/A): Ta có P(B/A) = P(A ∩ B) / P(A). Biến cố A ∩ B là biến cố súng I trúng và súng II trượt, tức là I ∩ II’. Do đó P(A ∩ B) = P(I ∩ II’) = P(I) * P(II’) = 0.7 * (1 - 0.8) = 0.7 * 0.2 = 0.14.

P(A) = P((I ∩ II’) ∪ (I’ ∩ II)) = P(I ∩ II’) + P(I’ ∩ II) = P(I) * P(II’) + P(I’) * P(II) = 0.7 * 0.2 + 0.3 * 0.8 = 0.14 + 0.24 = 0.38.

Vậy P(B/A) = 0.14 / 0.38 = 14/38 = 7/19.

Vậy P(A/C) = 0, P(B/C) = 1, P(B/A) = 7/19.

Để lập một số tự nhiên có 4 chữ số từ 4 chữ số đã cho (1, 5, 6, 7), ta có 4 lựa chọn cho mỗi vị trí chữ số (hàng nghìn, hàng trăm, hàng chục, hàng đơn vị). Vì các chữ số có thể giống nhau, ta có:

• Hàng nghìn có 4 cách chọn (1, 5, 6, 7)
• Hàng trăm có 4 cách chọn (1, 5, 6, 7)
• Hàng chục có 4 cách chọn (1, 5, 6, 7)
• Hàng đơn vị có 4 cách chọn (1, 5, 6, 7)

Vậy, tổng số các số tự nhiên có 4 chữ số có thể lập được là: 4 * 4 * 4 * 4 = 4⁴ = 256.

Bài toán yêu cầu tìm số đường thẳng tạo bởi 2 điểm trong 10 điểm, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Đây là bài toán tổ hợp cơ bản.

Số đường thẳng tạo thành từ 10 điểm, không có 3 điểm nào thẳng hàng là số tổ hợp chập 2 của 10, ký hiệu là C(10, 2) hoặc ¹⁰C₂.

Công thức tính tổ hợp chập k của n là: C(n, k) = n! / (k!(n-k)!)

Trong trường hợp này, C(10, 2) = 10! / (2! * 8!) = (10 * 9) / (2 * 1) = 45.

Vậy có 45 đường thẳng khác nhau tạo bởi 2 trong 10 điểm nói trên.