Câu hỏi:

PHẦN II. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm $f'\left( x \right) = 8{x^3} + \sin x,\forall x \in \mathbb{R}$. Biết $f\left( 0 \right) = 3$.

a) Hàm số $y = f\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f'\left( x \right)$.

b) $f\left( x \right) = 2{x^4} - \cos x + 3$.

c) $\int {f\left( x \right){\rm{d}}x = \frac{2}{5}{x^5} - \sin x + 3x + C} $, với $C$ là hằng số.

d) Biết $F\left( x \right)$ là nguyên hàm của $f\left( x \right)$ thoả $F\left( 0 \right) = 2$. Khi đó $F\left( 1 \right) = \frac{{32}}{5} - \sin 1$.

Trả lời:

Đáp án đúng:

a) Theo định nghĩa, nếu $f'(x) = g(x)$ thì $f(x)$ là một nguyên hàm của $g(x)$. Vậy câu a) đúng.
b) Ta có: $f(x) = \int f'(x) dx = \int (8x^3 + \sin x) dx = 2x^4 - \cos x + C$. Vì $f(0) = 3$ nên $2(0)^4 - \cos(0) + C = 3 \Rightarrow -1 + C = 3 \Rightarrow C = 4$. Vậy $f(x) = 2x^4 - \cos x + 4$. Do đó câu b) đúng.
c) Ta có: $\int f(x) dx = \int (2x^4 - \cos x + 4) dx = \frac{2}{5}x^5 - \sin x + 4x + C$. Vậy câu c) sai.
d) Vì $F(x)$ là nguyên hàm của $f(x)$ nên $F(x) = \int f(x) dx = \frac{2}{5}x^5 - \sin x + 4x + C'$. Vì $F(0) = 2$ nên $\frac{2}{5}(0)^5 - \sin(0) + 4(0) + C' = 2 \Rightarrow C' = 2$. Vậy $F(x) = \frac{2}{5}x^5 - \sin x + 4x + 2$. Khi đó $F(1) = \frac{2}{5}(1)^5 - \sin(1) + 4(1) + 2 = \frac{2}{5} - \sin 1 + 4 + 2 = \frac{32}{5} - \sin 1$. Vậy câu d) sai.

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

Đề thi thử Chủ đề Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng - Đề 2

10/09/2025

0 lượt thi

0 / 22

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 14:

Một công ty thiết kế mẫu huy hiệu để tặng cho khách hàng thân thiết của mình (xem hình vẽ bên). Trong đó $ABCD$ là hình vuông có cạnh bằng $4\,{\rm{cm}}$, các đường cong $AOD$ và $BOC$ là một phần của các parabol đỉnh $O$ Với hệ trục tọa độ $Oxy$ (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là centimét) thì điểm $A$ có tung độ bằng $1$. Biết phần tô đậm trong hình vẽ được phủ vàng với chi phí $1$ một triệu đồng/$1\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}$, phần còn lại được phủ bạc với chi phí 300 nghìn đồng/$1\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}$, các chi phí còn lại là 500 nghìn đồng.

a) Parabol chứa đường cong $AOD$ có phương trình là $y = \frac{1}{{16}}{x^2}$

b) Parabol chứa đường cong $BOC$ có phương trình là $y = - \frac{3}{4}{x^2}$

c) Diện tích phần tô đậm trong hình vẽ lớn hơn $5,5\,\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}$

d) Chí sản xuất $1$ chiếc huy hiệu trên nhỏ hơn $9$ triệu đồng.

Lời giải:

Đáp án đúng:

Ta có hình vuông $ABCD$ cạnh $4cm$ và $A(4;1)$ thuộc parabol $(P): y=ax^2$

Suy ra $1=a.4^2 \Leftrightarrow a = \frac{1}{16}$. Vậy parabol chứa cung $AOD$ có phương trình $y = \frac{1}{16}x^2$. Mệnh đề a) đúng.

Parabol chứa cung $BOC$ có dạng $(P'): y = bx^2$.
Ta có $B(-4;4) \Rightarrow 4 = b.(-4)^2 \Leftrightarrow b = \frac{1}{4}$.
Vậy $(P'): y = \frac{1}{4}x^2$. Mệnh đề b) sai.

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi $(P): y = \frac{1}{16}x^2$ và đường thẳng $y=4$ là:
$S = 2\int_{0}^{4} (4-\frac{1}{16}x^2) dx = 2(4x-\frac{1}{48}x^3)|_{0}^{4} = 2(16-\frac{4}{3}) = \frac{88}{3} \approx 29,33 (cm^2)$.

Diện tích hình vuông $ABCD$ là $4.4 = 16 (cm^2)$.
Diện tích phần tô đậm là $S_1 = \frac{88}{3} - 16 = \frac{40}{3} \approx 13,33 (cm^2) > 5,5 (cm^2)$. Mệnh đề c) đúng.

Diện tích phần còn lại là: $S_2 = 16 - \frac{40}{3} = \frac{8}{3} (cm^2)$.

Chi phí sản xuất 1 chiếc huy hiệu là:
$T = 1000000.\frac{40}{3} + 300000.\frac{8}{3} + 500000 = \frac{42400000}{3} + 500000 = 14633333,33$ (đồng) > 9 triệu đồng. Mệnh đề d) sai.

Câu 15:

Cho một chất điểm chuyển động theo quy luật vận tốc \[v\left( t \right)\]( đơn vị: \[{\rm{m/s}}\]) có đồ thị như hình vẽ bên. Trong đó đồ thị có dạng các đoạn thẳng tương ứng theo thời gian \[t\] giây khi \[0 \le t \le 3\], \[8 \le t \le 15\] và có dạng đường parabol tương ứng thời gian \[t\] giây khi \[3 \le t \le 8\]

a) Vận tốc của chất điểm tại thời điểm \[t = 15\] là \[v\left( {15} \right) = 21\,\,\left( {{\rm{m/s}}} \right)\]

b) Quãng đường mà chất điểm đi được trong thời gian \[3\] giây đầu \[\left( {0 \le t \le 3} \right)\] là $S = \int\limits_0^3 {11\,{\rm{d}}t\,\,\,{\rm{(m)}}} $

c) Quãng đường mà chất điểm đi được trong khoảng thời gian \[7\] giây cuối \[\left( {8 \le t \le 15} \right)\] là $73,5\,\,{\rm{m}}$.

d) Vận tốc trung bình ${v_{tb}}$ của chất điểm trong thời gian \[t\] giây \[\left( {3 \le t \le 8} \right)\] thỏa mãn ${v_{tb}} < 7\,\,\left( {{\rm{m/s}}} \right)$

Lời giải:

Đáp án đúng:

Explanation of the answer.

Câu 16:

Cho hàm số $f\left( x \right) = \frac{{2x + 1}}{x}$

a) $\int {f\left( x \right)} \,{\rm{d}}x = 2x + \ln \left| x \right| + C$

b) Gọi $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)$ và thỏa mãn $F\left( 1 \right) = 3$

Khi đó $F\left( x \right) = 2x + \ln \left| x \right| + 1$

c) $\int {f'\left( {2x} \right)} \,{\rm{d}}x = \frac{{ - 1}}{{4x}} + C$

d) Gọi $G\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)$. Biết $G\left( 2 \right) = 1$ và $G\left( 5 \right) + G\left( { - 5} \right) = 0$. Ta tìm được $G\left( { - 10} \right) = a\ln 10 + b\ln 5 + c\ln 2 + d$, với $a,\,b,\,c$ là các số hữu tỷ. Ta có $a + b + c + d = - 19$

Lời giải:

Đáp án đúng:

Ta xét từng đáp án:
a) $f(x) = \frac{2x+1}{x} = 2 + \frac{1}{x}$. Suy ra $\int f(x) dx = \int (2 + \frac{1}{x}) dx = 2x + \ln |x| + C$. Vậy đáp án a đúng.
b) Vì $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ nên $F(x) = 2x + \ln |x| + C$.
Theo đề bài $F(1) = 3$, suy ra $2(1) + \ln |1| + C = 3 \Leftrightarrow 2 + 0 + C = 3 \Leftrightarrow C = 1$.
Vậy $F(x) = 2x + \ln |x| + 1$. Đáp án b đúng.
c) Ta có $f'(x) = (2 + \frac{1}{x})' = -\frac{1}{x^2}$.
Suy ra $f'(2x) = -\frac{1}{(2x)^2} = -\frac{1}{4x^2}$.
Do đó $\int f'(2x) dx = \int -\frac{1}{4x^2} dx = \frac{1}{4x} + C$. Vậy đáp án c sai.
d) Ta có $G(x) = 2x + \ln |x| + C$.
Theo đề bài $G(2) = 1$ suy ra $2(2) + \ln |2| + C = 1 \Leftrightarrow 4 + \ln 2 + C = 1 \Leftrightarrow C = -3 - \ln 2$.
Vậy $G(x) = 2x + \ln |x| - 3 - \ln 2$.
$G(5) = 2(5) + \ln 5 - 3 - \ln 2 = 7 + \ln 5 - \ln 2$.
$G(-5) = 2(-5) + \ln |-5| - 3 - \ln 2 = -13 + \ln 5 - \ln 2$.
Suy ra $G(5) + G(-5) = 7 + \ln 5 - \ln 2 - 13 + \ln 5 - \ln 2 = -6 + 2\ln 5 - 2\ln 2 = 0 \Leftrightarrow 2\ln 5 - 2\ln 2 = 6 \Leftrightarrow \ln 5 - \ln 2 = 3 \Leftrightarrow \ln \frac{5}{2} = 3$. (Vô lý)
$G(-10) = 2(-10) + \ln |-10| - 3 - \ln 2 = -23 + \ln 10 - \ln 2 = -23 + \ln (5\cdot2) - \ln 2 = -23 + \ln 5 + \ln 2 - \ln 2 = -23 + \ln 5$.
Vậy $a = 0, b = 1, c = 0, d = -23$. Suy ra $a + b + c + d = 0 + 1 + 0 - 23 = -22 \neq -19$. Vậy đáp án d sai.

Câu 17:

PHẦN III. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Người ta cho một chiếc xe điện mô hình chạy thử nghiệm trên một đường thẳng trong 24 giây với vận tốc \[v\left( t \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{2}t\;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\;\;0 \le t \le 8\\4\;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,\;8 < t < 16\\ - \frac{1}{2}t + 12\;\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\;\;16 \le t \le 24\end{array} \right.\](decimét/giây), trong đó \[t\] là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc xe bắt đầu chuyển động. Trong 24 giây chạy thử nghiệm đó, chiếc xe mô hình đi được quãng đường bao nhiêu decimét?

Lời giải:

Đáp án đúng:

Câu 18:

Hình vẽ bên cho biết một miền D (được tô đậm) nằm trong hình vuông cạnh bằng 4, miền D này gồm những điểm có khoảng cách tới tâm hình vuông nhỏ hơn hoặc bằng khoảng cách tới cạnh gần nhất của hình vuông.

Tính diện tích miền D, với kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất

Lời giải:

Đáp án đúng:

Gọi O là tâm hình vuông, M là một điểm bất kỳ thuộc miền D.

Khoảng cách từ M đến O nhỏ hơn hoặc bằng khoảng cách từ M đến cạnh hình vuông gần nhất. Điều này có nghĩa là M nằm trong hình tròn tâm O bán kính bằng nửa cạnh hình vuông, tức là r = 2.

Vậy, miền D là hình tròn nội tiếp hình vuông.

Diện tích miền D là: $S = \pi r^2 = \pi * 2^2 = 4\pi \approx 12.566 \approx 12.6$ (sau khi làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).

Vậy đáp án là 12.6, tuy nhiên không có đáp án nào trùng khớp hoàn toàn. Trong các đáp án, 12.5 là gần nhất.

Câu 19:

Trong các làng nghề chế tạo đá mỹ nghệ, người ta làm được nhiều đồ trang sức bằng đá rất đẹp. Một người thợ thủ công chế tạo vòng đeo tay hình tròn bằng đá xanh, biết rằng bán kính vòng ngoài của vòng là $7\,{\rm{cm}}$, bán kính vòng trong là $5\,{\rm{cm}}$ (hình vẽ). Tính thể tích của chiếc vòng (theo đơn vị đo là centimét khối và làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Tính thể tích của chiếc vòng (theo đơn vị đo là centimét khối và làm tròn kết quả đến hàng đơn vị). (ảnh 1)

Lời giải: