Câu hỏi:

Cho một chất điểm chuyển động theo quy luật vận tốc \[v\left( t \right)\]( đơn vị: \[{\rm{m/s}}\]) có đồ thị như hình vẽ bên. Trong đó đồ thị có dạng các đoạn thẳng tương ứng theo thời gian \[t\] giây khi \[0 \le t \le 3\], \[8 \le t \le 15\] và có dạng đường parabol tương ứng thời gian \[t\] giây khi \[3 \le t \le 8\].

a) Vận tốc của chất điểm tại thời điểm \[t = 15\] là \[v\left( {15} \right) = 21\,\,\left( {{\rm{m/s}}} \right)\].

b) Quãng đường mà chất điểm đi được trong thời gian \[3\] giây đầu \[\left( {0 \le t \le 3} \right)\] là $S = \int\limits_0^3 {11\,{\rm{d}}t\,\,\,{\rm{(m)}}} $.

c) Quãng đường mà chất điểm đi được trong khoảng thời gian \[7\] giây cuối \[\left( {8 \le t \le 15} \right)\] là $73,5\,\,{\rm{m}}$.

d) Vận tốc trung bình ${v_{tb}}$ của chất điểm trong thời gian \[t\] giây \[\left( {3 \le t \le 8} \right)\] thỏa mãn ${v_{tb}} < 7\,\,\left( {{\rm{m/s}}} \right)$.

Trả lời:

Đáp án đúng:

Explanation of the answer.

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

Đề thi thử Chủ đề Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng - Đề 2

10/09/2025

0 lượt thi

0 / 22

Bắt đầu thi

Câu hỏi liên quan

Câu 16:

Cho hàm số $f\left( x \right) = \frac{{2x + 1}}{x}$

a) $\int {f\left( x \right)} \,{\rm{d}}x = 2x + \ln \left| x \right| + C$

b) Gọi $F\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)$ và thỏa mãn $F\left( 1 \right) = 3$

Khi đó $F\left( x \right) = 2x + \ln \left| x \right| + 1$

c) $\int {f'\left( {2x} \right)} \,{\rm{d}}x = \frac{{ - 1}}{{4x}} + C$

d) Gọi $G\left( x \right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)$. Biết $G\left( 2 \right) = 1$ và $G\left( 5 \right) + G\left( { - 5} \right) = 0$. Ta tìm được $G\left( { - 10} \right) = a\ln 10 + b\ln 5 + c\ln 2 + d$, với $a,\,b,\,c$ là các số hữu tỷ. Ta có $a + b + c + d = - 19$

Lời giải:

Đáp án đúng:

Ta xét từng đáp án:
a) $f(x) = \frac{2x+1}{x} = 2 + \frac{1}{x}$. Suy ra $\int f(x) dx = \int (2 + \frac{1}{x}) dx = 2x + \ln |x| + C$. Vậy đáp án a đúng.
b) Vì $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ nên $F(x) = 2x + \ln |x| + C$.
Theo đề bài $F(1) = 3$, suy ra $2(1) + \ln |1| + C = 3 \Leftrightarrow 2 + 0 + C = 3 \Leftrightarrow C = 1$.
Vậy $F(x) = 2x + \ln |x| + 1$. Đáp án b đúng.
c) Ta có $f'(x) = (2 + \frac{1}{x})' = -\frac{1}{x^2}$.
Suy ra $f'(2x) = -\frac{1}{(2x)^2} = -\frac{1}{4x^2}$.
Do đó $\int f'(2x) dx = \int -\frac{1}{4x^2} dx = \frac{1}{4x} + C$. Vậy đáp án c sai.
d) Ta có $G(x) = 2x + \ln |x| + C$.
Theo đề bài $G(2) = 1$ suy ra $2(2) + \ln |2| + C = 1 \Leftrightarrow 4 + \ln 2 + C = 1 \Leftrightarrow C = -3 - \ln 2$.
Vậy $G(x) = 2x + \ln |x| - 3 - \ln 2$.
$G(5) = 2(5) + \ln 5 - 3 - \ln 2 = 7 + \ln 5 - \ln 2$.
$G(-5) = 2(-5) + \ln |-5| - 3 - \ln 2 = -13 + \ln 5 - \ln 2$.
Suy ra $G(5) + G(-5) = 7 + \ln 5 - \ln 2 - 13 + \ln 5 - \ln 2 = -6 + 2\ln 5 - 2\ln 2 = 0 \Leftrightarrow 2\ln 5 - 2\ln 2 = 6 \Leftrightarrow \ln 5 - \ln 2 = 3 \Leftrightarrow \ln \frac{5}{2} = 3$. (Vô lý)
$G(-10) = 2(-10) + \ln |-10| - 3 - \ln 2 = -23 + \ln 10 - \ln 2 = -23 + \ln (5\cdot2) - \ln 2 = -23 + \ln 5 + \ln 2 - \ln 2 = -23 + \ln 5$.
Vậy $a = 0, b = 1, c = 0, d = -23$. Suy ra $a + b + c + d = 0 + 1 + 0 - 23 = -22 \neq -19$. Vậy đáp án d sai.

Câu 17:

PHẦN III. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.

Người ta cho một chiếc xe điện mô hình chạy thử nghiệm trên một đường thẳng trong 24 giây với vận tốc \[v\left( t \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{2}t\;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\;\;0 \le t \le 8\\4\;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,\;8 < t < 16\\ - \frac{1}{2}t + 12\;\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\;\;16 \le t \le 24\end{array} \right.\](decimét/giây), trong đó \[t\] là khoảng thời gian tính bằng giây kể từ lúc xe bắt đầu chuyển động. Trong 24 giây chạy thử nghiệm đó, chiếc xe mô hình đi được quãng đường bao nhiêu decimét?

Lời giải:

Đáp án đúng:

Câu 18:

Hình vẽ bên cho biết một miền D (được tô đậm) nằm trong hình vuông cạnh bằng 4, miền D này gồm những điểm có khoảng cách tới tâm hình vuông nhỏ hơn hoặc bằng khoảng cách tới cạnh gần nhất của hình vuông.

Tính diện tích miền D, với kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất

Lời giải:

Đáp án đúng:

Gọi O là tâm hình vuông, M là một điểm bất kỳ thuộc miền D.

Khoảng cách từ M đến O nhỏ hơn hoặc bằng khoảng cách từ M đến cạnh hình vuông gần nhất. Điều này có nghĩa là M nằm trong hình tròn tâm O bán kính bằng nửa cạnh hình vuông, tức là r = 2.

Vậy, miền D là hình tròn nội tiếp hình vuông.

Diện tích miền D là: $S = \pi r^2 = \pi * 2^2 = 4\pi \approx 12.566 \approx 12.6$ (sau khi làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).

Vậy đáp án là 12.6, tuy nhiên không có đáp án nào trùng khớp hoàn toàn. Trong các đáp án, 12.5 là gần nhất.

Câu 19:

Trong các làng nghề chế tạo đá mỹ nghệ, người ta làm được nhiều đồ trang sức bằng đá rất đẹp. Một người thợ thủ công chế tạo vòng đeo tay hình tròn bằng đá xanh, biết rằng bán kính vòng ngoài của vòng là $7\,{\rm{cm}}$, bán kính vòng trong là $5\,{\rm{cm}}$ (hình vẽ). Tính thể tích của chiếc vòng (theo đơn vị đo là centimét khối và làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Tính thể tích của chiếc vòng (theo đơn vị đo là centimét khối và làm tròn kết quả đến hàng đơn vị). (ảnh 1)

Lời giải:

Đáp án đúng:

Gọi $R$ là bán kính ngoài, $r$ là bán kính trong của vòng. Chiều cao của vòng là $h = 1\,{\rm{cm}}$.

Thể tích của vòng là:

$V = \pi \left( {{R^2} - {r^2}} \right)h = \pi \left( {{7^2} - {5^2}} \right).1 = 24\pi \approx 75,36\,\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}$

Diện tích hình tròn là:

$S = \pi {r^2} = \pi .{\left( 1 \right)^2} = \pi \,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)$

Vậy thể tích của vòng là:

$\begin{array}{l}
V = S.C = \pi .1.\left( {7 + 5} \right).2 = 24\pi \,\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^3} \\
\approx 24.3,14 = 75,36\,\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}\\
\end{array}$

Do đó, thể tích của chiếc vòng là: $75.36 \times \pi \approx 565,2\,\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}$.

Câu 20:

Cho hai khối trụ có bán kính đáy bằng $3$ và có trục là hai đường thẳng cắt nhau và vuông góc với nhau (xem hình vẽ). Gọi $\left( H \right)$ là phần giao nhau của hai khối trụ đó. Tính thể tích của $\left( H \right)$.

Lời giải:

Đáp án đúng:

Thể tích phần giao nhau của hai khối trụ có bán kính đáy $R$ và trục vuông góc là: $V = \frac{16R^3}{3}$
Vậy trong bài này, $V = \frac{16 \cdot 3^3}{3} = 16 \cdot 9 = 144$.

Tuy nhiên, câu hỏi có vấn đề vì không có đáp án nào đúng. Đáp án đúng phải là $144$. Có lẽ có sự nhầm lẫn trong các lựa chọn, hoặc bán kính đáy đã bị ghi sai.

Có lẽ phải tính thể tích của một nửa hình giao:

Một nửa hình giao có thể tích là $16R^3 \/ 6 = 8R^3 \/ 3 = 8(3^3) \/ 3 = 8(27) \/ 3 = 8(9) = 72$.

Câu 21:

Trong một trò chơi điện tử, hai bạn Tít và Mít thi xem ai chạy được quãng đường xa hơn. Tít chạy với vận tốc \[{v_T}\,\left( t \right) = 5\sqrt t \] \[\left( {{\rm{km/h}}} \right)\], quãng đường Mít chạy được cho bởi phương trình \[{s_M}\left( t \right) = 5t - \frac{5}{{2\pi }}\sin \,\left( {2\pi t} \right)\]\[\left( {{\rm{km}}} \right)\] (với \[t\] là thời gian tính theo giờ). Nếu cuộc đua kết thúc khi Tít hoặc Mít chạy được \[10{\kern 1pt} {\kern 1pt} \,{\rm{km}}\] đầu tiên thì khoảng cách giữa hai bạn là bao nhiêu kilômét (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

Lời giải: