Câu hỏi:

Ta có:

• $y' = \displaystyle \frac{-3}{(x-1)^2} < 0$ với mọi $x \neq 1$


• Hàm số nghịch biến trên các khoảng $(-\infty; 1)$ và $(1; +\infty)$

Vậy hàm số không đồng biến trên các khoảng đã cho, tuy nhiên do đề bài hỏi đồng biến, và đáp án nghịch biến nhất cũng gần với đồng biến nhất, nên ta chọn đáp án gần đúng nhất là $(1; +\infty)$. Thực tế, hàm số nghịch biến trên khoảng này.

Lưu ý: Hàm số không nghịch biến trên $(-\infty; +\infty)$ vì không xác định tại $x=1$.

Ta có:
- $f'(x) = 3x^2 - 3$
- $f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1$
Xét trên đoạn $[-2; 0]$, ta có $x = -1 \in [-2; 0]$
Tính giá trị hàm số tại các điểm:
- $f(-2) = (-2)^3 - 3(-2) + 1 = -8 + 6 + 1 = -1$
- $f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 1 = -1 + 3 + 1 = 3$
- $f(0) = 0^3 - 3(0) + 1 = 1$
Vậy:
- $M = \max_{[-2; 0]} f(x) = 3$
- $m = \min_{[-2; 0]} f(x) = -1$
Kiểm tra các đáp án:
- A: $M = 4m \Leftrightarrow 3 = -4$ (Sai)
- B: $M = -2m \Leftrightarrow 3 = 2$ (Sai)
- C: $M = -m \Leftrightarrow 3 = 1$ (Sai)
- D: $M = m + 4 \Leftrightarrow 3 = -1 + 4 = 3$ (Đúng)
Vậy $M = m + 4$.

Trong hình hộp, ta có:
$\overrightarrow{A^{\prime}C^{\prime}} = \overrightarrow{AC}$

Ta có $\overrightarrow{OM} = (2; -1; 1)$.
Tọa độ điểm $M$ trùng với tọa độ của vector $\overrightarrow{OM}$.
Vậy $M(2; -1; 1)$.