Câu hỏi:
Người ta giăng lưới để nuôi riêng một loại cá trên một góc hồ. Biết rằng lưới được giăng theo một đường thẳng từ một vị trí trên bờ ngang đến một vị trí trên bờ dọc và phải đi qua một cái cọc đã cắm sẵn ở vị trí \(A\). Diện tích nhỏ nhất có thể giăng lưới là bao nhiêu mét vuông, biết rằng khoảng cách từ cọc đến bờ ngang là 5 m và khoảng cách từ cọc đến bờ dọc là 12 m.
Trả lời:
Đáp án đúng:
Gọi $x, y$ lần lượt là khoảng cách từ giao điểm của lưới với bờ ngang và bờ dọc tới gốc tọa độ.
Khi đó, phương trình đường thẳng của lưới có dạng: $\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} = 1$
Vì lưới đi qua $A(5, 12)$ nên ta có: $\dfrac{5}{a} + \dfrac{12}{b} = 1$
Diện tích tam giác được tạo bởi lưới và hai bờ là: $S = \dfrac{1}{2}ab$
Ta cần tìm $a, b$ sao cho $S$ nhỏ nhất.
Áp dụng bất đẳng thư Cauchy cho hai số dương $\dfrac{5}{a}$ và $\dfrac{12}{b}$, ta có:
$1 = \dfrac{5}{a} + \dfrac{12}{b} \ge 2\sqrt{\dfrac{5}{a} \cdot \dfrac{12}{b}} = 2\sqrt{\dfrac{60}{ab}}$
$\Rightarrow 1 \ge 4 \cdot \dfrac{60}{ab} \Rightarrow ab \ge 240$
$\Rightarrow S = \dfrac{1}{2}ab \ge \dfrac{1}{2} \cdot 240 = 120$
Dấu "=" xảy ra khi $\dfrac{5}{a} = \dfrac{12}{b} \Rightarrow b = \dfrac{12a}{5}$. Thay vào $\dfrac{5}{a} + \dfrac{12}{b} = 1$, ta được:
$\dfrac{5}{a} + \dfrac{12}{\dfrac{12a}{5}} = 1 \Rightarrow \dfrac{5}{a} + \dfrac{5}{a} = 1 \Rightarrow \dfrac{10}{a} = 1 \Rightarrow a = 10$
$\Rightarrow b = \dfrac{12 \cdot 10}{5} = 24$
Khi đó, $S = \dfrac{1}{2} \cdot 10 \cdot 24 = 120 m^2$
Vậy diện tích nhỏ nhất có thể giăng lưới là $120 m^2$.
Khi đó, phương trình đường thẳng của lưới có dạng: $\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} = 1$
Vì lưới đi qua $A(5, 12)$ nên ta có: $\dfrac{5}{a} + \dfrac{12}{b} = 1$
Diện tích tam giác được tạo bởi lưới và hai bờ là: $S = \dfrac{1}{2}ab$
Ta cần tìm $a, b$ sao cho $S$ nhỏ nhất.
Áp dụng bất đẳng thư Cauchy cho hai số dương $\dfrac{5}{a}$ và $\dfrac{12}{b}$, ta có:
$1 = \dfrac{5}{a} + \dfrac{12}{b} \ge 2\sqrt{\dfrac{5}{a} \cdot \dfrac{12}{b}} = 2\sqrt{\dfrac{60}{ab}}$
$\Rightarrow 1 \ge 4 \cdot \dfrac{60}{ab} \Rightarrow ab \ge 240$
$\Rightarrow S = \dfrac{1}{2}ab \ge \dfrac{1}{2} \cdot 240 = 120$
Dấu "=" xảy ra khi $\dfrac{5}{a} = \dfrac{12}{b} \Rightarrow b = \dfrac{12a}{5}$. Thay vào $\dfrac{5}{a} + \dfrac{12}{b} = 1$, ta được:
$\dfrac{5}{a} + \dfrac{12}{\dfrac{12a}{5}} = 1 \Rightarrow \dfrac{5}{a} + \dfrac{5}{a} = 1 \Rightarrow \dfrac{10}{a} = 1 \Rightarrow a = 10$
$\Rightarrow b = \dfrac{12 \cdot 10}{5} = 24$
Khi đó, $S = \dfrac{1}{2} \cdot 10 \cdot 24 = 120 m^2$
Vậy diện tích nhỏ nhất có thể giăng lưới là $120 m^2$.
Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài
Câu hỏi liên quan
Lời giải:
Đáp án đúng:
Ta có:
Gọi $M(x_0; y_0)$ là một điểm thuộc $(C)$. Khi đó, $y_0 = \frac{2x_0 - 1}{x_0 - 1}$.
Ta có: $y' = \frac{-1}{(x - 1)^2}$.
Phương trình tiếp tuyến tại $M$ là:
$y = y'(x_0)(x - x_0) + y_0 = \frac{-1}{(x_0 - 1)^2}(x - x_0) + \frac{2x_0 - 1}{x_0 - 1}$.
$IA = \sqrt{(1 - 1)^2 + (\frac{2x_0}{x_0 - 1} - 2)^2} = \sqrt{(\frac{2}{x_0 - 1})^2} = |\frac{2}{x_0 - 1}|$.
$IB = \sqrt{(2x_0 - 1 - 1)^2 + (2 - 2)^2} = |2x_0 - 2| = 2|x_0 - 1|$.
$AB = \sqrt{(2x_0 - 1 - 1)^2 + (2 - \frac{2x_0}{x_0 - 1})^2} = \sqrt{4(x_0 - 1)^2 + \frac{4}{(x_0 - 1)^2}} = 2\sqrt{(x_0 - 1)^2 + \frac{1}{(x_0 - 1)^2}}$.
Chu vi tam giác $IAB$ là: $P = IA + IB + AB = |\frac{2}{x_0 - 1}| + 2|x_0 - 1| + 2\sqrt{(x_0 - 1)^2 + \frac{1}{(x_0 - 1)^2}}$.
Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số dương:
$(x_0 - 1)^2 + \frac{1}{(x_0 - 1)^2} \ge 2\sqrt{(x_0 - 1)^2 . \frac{1}{(x_0 - 1)^2}} = 2$.
$P = 2(|x_0 - 1| + |\frac{1}{x_0 - 1}|) + 2\sqrt{(x_0 - 1)^2 + \frac{1}{(x_0 - 1)^2}} \ge 4\sqrt{|x_0 - 1| . |\frac{1}{x_0 - 1}|} + 2\sqrt{2} = 4 + 2\sqrt{2}$.
Vậy chu vi tam giác $IAB$ nhỏ nhất bằng $4 + 2\sqrt{2}$.
$\Rightarrow a = 4, b = 8$.
Vậy $a - b + 4 = 4 - 8 + 4 = 0$.
- Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là $x = 1$.
- Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là $y = 2$.
- Do đó, $I(1; 2)$.
Gọi $M(x_0; y_0)$ là một điểm thuộc $(C)$. Khi đó, $y_0 = \frac{2x_0 - 1}{x_0 - 1}$.
Ta có: $y' = \frac{-1}{(x - 1)^2}$.
Phương trình tiếp tuyến tại $M$ là:
$y = y'(x_0)(x - x_0) + y_0 = \frac{-1}{(x_0 - 1)^2}(x - x_0) + \frac{2x_0 - 1}{x_0 - 1}$.
- Giao điểm $A$ của tiếp tuyến với tiệm cận đứng $x = 1$ là:
$y_A = \frac{-1}{(x_0 - 1)^2}(1 - x_0) + \frac{2x_0 - 1}{x_0 - 1} = \frac{1}{x_0 - 1} + \frac{2x_0 - 1}{x_0 - 1} = \frac{2x_0}{x_0 - 1}$.
Vậy $A(1; \frac{2x_0}{x_0 - 1})$. - Giao điểm $B$ của tiếp tuyến với tiệm cận ngang $y = 2$ là:
$2 = \frac{-1}{(x_0 - 1)^2}(x - x_0) + \frac{2x_0 - 1}{x_0 - 1} \Leftrightarrow \frac{1}{(x_0 - 1)^2}(x - x_0) = \frac{2x_0 - 1}{x_0 - 1} - 2 = \frac{-1}{x_0 - 1}$
$\Leftrightarrow x - x_0 = -(x_0 - 1) \Leftrightarrow x = x_0 - (x_0 - 1) = 1$.
$\Rightarrow x = x_0 + (x_0 - 1) = 2x_0 - 1$. Vậy $B(2x_0 - 1; 2)$.
$IA = \sqrt{(1 - 1)^2 + (\frac{2x_0}{x_0 - 1} - 2)^2} = \sqrt{(\frac{2}{x_0 - 1})^2} = |\frac{2}{x_0 - 1}|$.
$IB = \sqrt{(2x_0 - 1 - 1)^2 + (2 - 2)^2} = |2x_0 - 2| = 2|x_0 - 1|$.
$AB = \sqrt{(2x_0 - 1 - 1)^2 + (2 - \frac{2x_0}{x_0 - 1})^2} = \sqrt{4(x_0 - 1)^2 + \frac{4}{(x_0 - 1)^2}} = 2\sqrt{(x_0 - 1)^2 + \frac{1}{(x_0 - 1)^2}}$.
Chu vi tam giác $IAB$ là: $P = IA + IB + AB = |\frac{2}{x_0 - 1}| + 2|x_0 - 1| + 2\sqrt{(x_0 - 1)^2 + \frac{1}{(x_0 - 1)^2}}$.
Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số dương:
$(x_0 - 1)^2 + \frac{1}{(x_0 - 1)^2} \ge 2\sqrt{(x_0 - 1)^2 . \frac{1}{(x_0 - 1)^2}} = 2$.
$P = 2(|x_0 - 1| + |\frac{1}{x_0 - 1}|) + 2\sqrt{(x_0 - 1)^2 + \frac{1}{(x_0 - 1)^2}} \ge 4\sqrt{|x_0 - 1| . |\frac{1}{x_0 - 1}|} + 2\sqrt{2} = 4 + 2\sqrt{2}$.
Vậy chu vi tam giác $IAB$ nhỏ nhất bằng $4 + 2\sqrt{2}$.
$\Rightarrow a = 4, b = 8$.
Vậy $a - b + 4 = 4 - 8 + 4 = 0$.
Lời giải:
Đáp án đúng:
Gọi $\overrightarrow{F_{12}}$ là hợp lực của $\overrightarrow{F_1}$ và $\overrightarrow{F_2}$. Ta có:
Vì $\overrightarrow{F_3}$ vuông góc với $\overrightarrow{F_{12}}$ nên hợp lực $\overrightarrow{F}$ của ba lực là:
$F^2 = F_{12}^2 + F_3^2 = 82.69 + 7^2 = 131.69$
$F = \sqrt{131.69} \approx 11.47 N$\approx 13 N
- $F_{12}^2 = F_1^2 + F_2^2 + 2F_1F_2cos(110^\circ) = 9^2 + 4^2 + 2*9*4*cos(110^\circ) \approx 82.69$
- $F_{12} = \sqrt{82.69} \approx 9.09 N$
Vì $\overrightarrow{F_3}$ vuông góc với $\overrightarrow{F_{12}}$ nên hợp lực $\overrightarrow{F}$ của ba lực là:
$F^2 = F_{12}^2 + F_3^2 = 82.69 + 7^2 = 131.69$
$F = \sqrt{131.69} \approx 11.47 N$\approx 13 N
Lời giải:
Đáp án đúng: D
Hàm số nghịch biến trên khoảng mà $f'(x) < 0$ hoặc đồ thị hàm số đi xuống.
Từ bảng biến thiên, ta thấy hàm số nghịch biến trên khoảng $(0; +\infty)$.
Từ bảng biến thiên, ta thấy hàm số nghịch biến trên khoảng $(0; +\infty)$.
