Câu hỏi:

Ta có công thức tính cơ năng của con lắc lò xo: $W = \frac{1}{2}kA^2$.

Động năng của con lắc tại vị trí có li độ x là: $W_đ = W - W_t = W - \frac{1}{2}kx^2 = W - W \frac{x^2}{A^2} = W(1 - \frac{x^2}{A^2})$.

Thay số: $W_đ = 0.9(1 - \frac{(-5)^2}{15^2}) = 0.9(1 - \frac{25}{225}) = 0.9(1 - \frac{1}{9}) = 0.9(\frac{8}{9}) = 0.8 J$.

Gọi $l$ là chiều dài dây treo của con lắc đơn.

Ta có biên độ dài $S_0 = \alpha_0 l = 0,1l$.

Tại thời điểm ban đầu, vật có li độ dài $s = 8$ cm và vận tốc $v = 20\sqrt{3}$ cm/s.

Ta có công thức độc lập với thời gian:

$\dfrac{v^2}{v_{max}^2} + \dfrac{s^2}{S_0^2} = 1$

$\Rightarrow v_{max}^2 = \dfrac{v^2}{1 - \dfrac{s^2}{S_0^2}}$

$\Rightarrow v_{max}^2 = \dfrac{(20\sqrt{3})^2}{1 - \dfrac{8^2}{(0,1l)^2}}$ (1)

Mặt khác, ta có: $\omega = \sqrt{\dfrac{g}{l}} = \sqrt{\dfrac{10}{l}}$ (rad/s)

$v_{max} = \omega S_0 = \sqrt{\dfrac{10}{l}} * 0,1l = 0,1\sqrt{10l}$

$v_{max}^2 = 0,01 * 10l = 0,1l$ (2)

Từ (1) và (2), ta có:

$0,1l = \dfrac{1200}{1 - \dfrac{64}{(0,1l)^2}}$

$0,1l - \dfrac{64 * 0,1l}{(0,1l)^2} = 1200$

$0,1l - \dfrac{6,4 l}{0,01 l^2} = 1200$

Đặt $x = 0,1l$, ta có:

$x - \dfrac{6,4}{x} = 1200$

$x^2 - 1200x - 6,4 = 0$

$\Delta' = 600^2 + 6,4 = 360006,4$

$x = 600 + \sqrt{360006,4} \approx 1200,0053$

$v_{max}^2 = 0,1l = x \approx 1200,0053 \Rightarrow v_{max} \approx \sqrt{1200,0053} = 34,64$ cm/s = $0,3464$ m/s.


Giải lại:
Ta có: $S_0 = l \alpha_0 = 0.1 l$.
$\omega = \sqrt{\dfrac{g}{l}}$
$v_{max} = S_0 \omega = 0.1 l \sqrt{\dfrac{g}{l}} = 0.1 \sqrt{gl} = 0.1 \sqrt{10l}$
$\dfrac{v^2}{v_{max}^2} + \dfrac{s^2}{S_0^2} = 1$
$\dfrac{(0.2\sqrt{3})^2}{v_{max}^2} + \dfrac{0.08^2}{(0.1l)^2} = 1$
$\dfrac{0.12}{v_{max}^2} = 1 - \dfrac{0.0064}{0.01l^2} = 1 - \dfrac{0.64}{l^2}$
$\dfrac{0.12}{0.01 * 10l} = 1 - \dfrac{0.64}{l^2}$
$\dfrac{1.2}{l} = 1 - \dfrac{0.64}{l^2}$
$1.2l = l^2 - 0.64$
$l^2 - 1.2l - 0.64 = 0$
$\Delta = 1.2^2 + 4 * 0.64 = 1.44 + 2.56 = 4$
$l = \dfrac{1.2 + 2}{2} = 1.6$
$v_{max} = 0.1 \sqrt{10 * 1.6} = 0.1 \sqrt{16} = 0.1 * 4 = 0.4$ (m/s)