Câu hỏi:

Mệnh đề "$\exists x \in X, P(x)$" đọc là "Tồn tại một $x$ thuộc $X$ sao cho $P(x)$ đúng".
Trong trường hợp này, $X$ là tập hợp các học sinh lớp 10A1, và $P(x)$ là mệnh đề "$x$ đạt học sinh giỏi".
Vậy, "$\exists x \in X, P(x)$" có nghĩa là "Có một học sinh trong lớp 10A1 đạt học sinh giỏi", tương đương với "Có một số bạn học lớp 10A1 đạt học sinh giỏi".

Mệnh đề $\forall x \in \mathbb{Z}, x^2 + 1 > 0$ có nghĩa là "với mọi số nguyên x, biểu thức $x^2 + 1$ lớn hơn 0".
Ta kiểm tra từng đáp án:

• Đáp án A: "Với mọi số nguyên x, ta có $x^2 + 1$ luôn lớn hơn 0" - Đây là cách phát biểu chính xác của mệnh đề.
• Đáp án B: "Tồn tại duy nhất một số nguyên x để $x^2 + 1$ luôn lớn hơn 0" - Sai vì mệnh đề gốc nói về mọi x.
• Đáp án C: "Tồn tại ít nhất một số nguyên x để $x^2 + 1$ luôn lớn hơn 0" - Sai vì mệnh đề gốc nói về mọi x.
• Đáp án D: "Không có số nguyên nào thỏa mãn bất đẳng thức $x^2 + 1 > 0$." - Sai vì mệnh đề gốc khẳng định điều ngược lại.

Vậy đáp án đúng là A.

Ta xét từng đáp án:
* Đáp án A: Với mọi số tự nhiên $x$, ta có $x \le 2x$. Mệnh đề này đúng.
* Đáp án B: Với mọi số thực $x$, ta có $\sqrt{x} \ge 0$ chỉ đúng khi $x \ge 0$. Tuy nhiên, tập số thực $\mathbb{R}$ bao gồm cả số âm. Nhưng đề bài đã ngầm hiểu $\sqrt{x}$ chỉ xét với $x \ge 0$, nên mệnh đề này đúng.
* Đáp án C: Tồn tại số tự nhiên $x$ sao cho $x^2 = x$. Ví dụ, $x = 0$ hoặc $x = 1$. Mệnh đề này đúng.
* Đáp án D: Với mọi số thực $x$, ta có $x > 0$. Mệnh đề này sai, vì có các số thực $x \le 0$. Ví dụ: $x = 0, x = -1$.
Vậy đáp án sai là D.

Mệnh đề gốc có dạng: $\forall x \in A, P(x)$.
Phủ định của mệnh đề này là: $\exists x \in A, \neg P(x)$.
Trong đó, $P(x)$ là $x^3 – 5x + 6 \geq 0$.
Vậy $\neg P(x)$ là $x^3 – 5x + 6 < 0$.
Do đó, mệnh đề phủ định là $\exists x \in \mathbb{R}, x^3 – 5x + 6 < 0$.