Câu hỏi:

Ta xét từng đáp án:

• Đáp án A: Với mọi số tự nhiên $n$, $n^2 + 1$ không chia hết cho 3. Điều này đúng. Thật vậy, xét các trường hợp của $n$ khi chia cho 3:
  
  
  
  
  • Nếu $n = 3k$ thì $n^2 + 1 = (3k)^2 + 1 = 9k^2 + 1 = 3(3k^2) + 1$ không chia hết cho 3.
  
  
  • Nếu $n = 3k + 1$ thì $n^2 + 1 = (3k + 1)^2 + 1 = 9k^2 + 6k + 1 + 1 = 9k^2 + 6k + 2 = 3(3k^2 + 2k) + 2$ không chia hết cho 3.
  
  
  • Nếu $n = 3k + 2$ thì $n^2 + 1 = (3k + 2)^2 + 1 = 9k^2 + 12k + 4 + 1 = 9k^2 + 12k + 5 = 3(3k^2 + 4k + 1) + 2$ không chia hết cho 3.
  
  
  
  


• Đáp án B: $\forall x \in \mathbb{R}, |x| < 3 \Leftrightarrow x < 3$. Điều này sai. Ví dụ, $x = -2$, thì $|-2| = 2 < 3$, nhưng $-2 < 3$. Tuy nhiên, nếu $x = -4$, thì $|-4| = 4 > 3$, nhưng $-4 < 3$. Vì vậy, mệnh đề tương đương không đúng.


• Đáp án C: $\forall x \in \mathbb{R}, (x – 1)^2 \neq x – 1$. Điều này sai. Ví dụ, $x = 1$, thì $(1-1)^2 = 0$ và $1-1 = 0$, vậy $(x-1)^2 = x-1$.


• Đáp án D: $\exists n \in \mathbb{N}, n^2 + 1$ chia hết cho 4. Điều này sai. Thật vậy, xét các trường hợp của $n$ khi chia cho 2:
  
  
  
  
  • Nếu $n = 2k$ thì $n^2 + 1 = (2k)^2 + 1 = 4k^2 + 1$ không chia hết cho 4.
  
  
  • Nếu $n = 2k + 1$ thì $n^2 + 1 = (2k + 1)^2 + 1 = 4k^2 + 4k + 1 + 1 = 4k^2 + 4k + 2$ không chia hết cho 4.
  
  
  
  

Vậy đáp án đúng là A.

Mệnh đề A: “$\exists$ n $\in$ \$\mathbb{N}\$, 3n + 1 là số lẻ”

Mệnh đề phủ định của A là: $\overline A $: “$\forall$ n $\in$ \$\mathbb{N}\$, 3n + 1 là số chẵn”.

Ta xét tính đúng sai của mệnh đề $\overline A $:

Với mọi số tự nhiên n, 3n + 1 là số chẵn. Điều này đúng, vì nếu n là số chẵn thì 3n là số chẵn, do đó 3n + 1 là số lẻ. Nếu n là số lẻ thì 3n là số lẻ, do đó 3n + 1 là số chẵn. Vậy mệnh đề $\overline A $ là mệnh đề đúng.