Câu hỏi:

Để $A \cap B \ne \varnothing$ thì hai tập hợp $A$ và $B$ phải có phần tử chung.

Điều kiện để $A$ và $B$ có phần tử chung là:

$m < 3$ và $m + 5 > -2$

$m < 3$ và $m > -7$

Vậy $-7 < m < 3$

Tập hợp $A = \{x \in \mathbb{R} | -3 \leq x \leq 5\}$ bao gồm tất cả các số thực $x$ sao cho $-3 \leq x \leq 5$. Do đó, tập hợp $A$ được biểu diễn bằng đoạn $[-3; 5]$.

Câu hỏi không đầy đủ. Cần có thêm thông tin về tập hợp cần biểu diễn. Tuy nhiên, nếu ta hiểu câu hỏi là tìm kí hiệu đúng cho một khoảng/nửa khoảng nào đó, thì ta có thể nhận xét các đáp án:

• A. $(-\infty; 5)$ biểu diễn khoảng từ âm vô cùng đến 5 (không bao gồm 5)


• B. $(-\infty; 5]$ biểu diễn nửa khoảng từ âm vô cùng đến 5 (bao gồm 5)


• C. $(5; +\infty)$ biểu diễn khoảng từ 5 đến dương vô cùng (không bao gồm 5)


• D. $[5;+\infty)$ biểu diễn nửa khoảng từ 5 đến dương vô cùng (bao gồm 5)

Vì không có thông tin thêm, ta không thể xác định đáp án chính xác. Tuy nhiên, giả sử đề muốn biểu diễn tập hợp các số lớn hơn hoặc bằng 5, thì đáp án D là phù hợp nhất.

Để $A \cap B \neq \emptyset$, tức là $A$ và $B$ có giao khác rỗng, thì phải có ít nhất một phần tử chung giữa hai tập hợp này.

Ta có $A = (-1; 5)$ và $B = (m; m+3]$.

Điều kiện để $A \cap B \neq \emptyset$ là: $m < 5$ và $m+3 > -1$.

Giải bất phương trình $m+3 > -1$, ta được $m > -4$.

Kết hợp hai điều kiện $m < 5$ và $m > -4$, ta có $-4 < m < 5$.

Tuy nhiên, do $B = (m; m+3]$ là nửa khoảng, ta cần xét kỹ hơn. Để có giao khác rỗng, cận dưới của B phải nhỏ hơn cận trên của A và cận trên của B phải lớn hơn cận dưới của A. Tức là:

$m < 5$ và $m+3 > -1$ hay $m > -4$.

Vậy $-4 < m < 5$ không bao gồm trường hợp $m = -4$. Nếu $m = -4$, thì $B = (-4; -1]$, và $A \cap B = (-1; -1] = \emptyset$ (sai)

Nếu $m = 5$ thì $B = (5; 8]$, $A \cap B = \emptyset$.

Xét các đáp án:

$A = (-1,5)$, $B = (m, m+3]$

Để $A \cap B \neq \emptyset$ thì $m < 5$ và $m+3 > -1$ suy ra $m > -4$

Do đó $-4 < m < 5$.

Nếu $m = -4$, thì $B = (-4, -1]$, do đó $A \cap B = (-1, -1] = \emptyset$

Nếu $m = 5$, thì $B = (5, 8]$, do đó $A \cap B = \emptyset$

Ta cần xét $m$ có thể bằng $-4$ không. Nếu $m=-4$, $B = (-4, -1]$, $A \cap B = (-1, -1] = \emptyset$. Như vậy $m > -4$

Khi $m$ tiến tới $-4$ từ bên phải thì $-1$ tiến tới $-1+3 = 2$ vẫn nhỏ hơn $5$ do đó vẫn có giao

Đáp án đúng là $-4 \leq m < 5$

Để $A \cap B \neq \emptyset$, tức là hai tập hợp $A$ và $B$ có giao khác rỗng, cần có ít nhất một phần tử chung giữa hai tập hợp này.
Ta có $A = (-\infty; 1]$ và $B = (m; +\infty)$. Để có giao khác rỗng, $m$ phải nhỏ hơn hoặc bằng 1.
Vì vậy, điều kiện là $m \le 1$.