Câu hỏi:

Ta có: $AC^2 + AB^2 - BC^2 = \sqrt{3} AC \cdot AB$. Áp dụng định lý cosin, $BC^2 = AC^2 + AB^2 - 2AC \cdot AB \cdot \cos A$. Suy ra $AC^2 + AB^2 - BC^2 = 2AC \cdot AB \cdot \cos A$. Do đó, $2AC \cdot AB \cdot \cos A = \sqrt{3} AC \cdot AB$, vậy $\cos A = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Vậy $A = 30^{\circ}$. Khi đó, $\sin (B+C) = \sin (180^{\circ} - A) = \sin A = \sin 30^{\circ} = \frac{1}{2} = 0.5$.

Gọi $A$ là tập hợp học sinh tham gia điền kinh, $B$ là tập hợp học sinh tham gia bóng đá.
Số học sinh lớp 10A tham gia ít nhất một môn là $40 - 16 = 24$.
Ta có $|A| = 18$, $|B| = 14$, $|A \cup B| = 24$.
Áp dụng công thức:
$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$
$24 = 18 + 14 - |A \cap B|$
$|A \cap B| = 18 + 14 - 24 = 8$
Số học sinh chỉ tham gia điền kinh là $|A| - |A \cap B| = 18 - 8 = 10$.
Số học sinh chỉ tham gia bóng đá là $|B| - |A \cap B| = 14 - 8 = 6$.
Vậy số học sinh chỉ tham gia một môn là $10 + 6 = 16$.
Số học sinh chỉ tham gia một môn trong hai môn trên là 16.

Gọi x là số xe loại A và y là số xe loại B cần thuê.
Ta có các điều kiện:
Số người: 20x + 10y >= 100 hay 2x + y >= 10
Số hàng: 0.5x + 2y >= 6 hay x + 4y >= 12
Số xe: 0 <= x <= 8 và 0 <= y <= 6
Mục tiêu là tối thiểu hóa chi phí: C = 4x + 3y (triệu đồng).
Xét các phương án:
Phương án 1: x=5, y=0. Khi đó C = 4(5) + 3(0) = 20. Kiểm tra: 2(5)+0 = 10 >= 10 (đúng), 5+4(0) = 5 >= 12 (sai). Loại.
Phương án 2: x=2, y=4. Khi đó C = 4(2) + 3(4) = 8+12 = 20. Kiểm tra: 2(2)+4 = 8 >= 10 (sai). Loại.
Phương án 3: x=0, y=6. Khi đó C = 4(0) + 3(6) = 18. Kiểm tra: 2(0)+6 = 6 >= 10 (sai). Loại.
Phương án 4: x=3, y=3. Khi đó C = 4(3) + 3(3) = 12+9 = 21. Kiểm tra: 2(3)+3 = 9 >= 10 (sai). Loại.
Tuy nhiên không có đáp án nào đúng. Đáp án gần đúng nhất là thuê 0 xe loại A và 6 xe loại B.

Gọi $x = AH, y = BH$. Ta có:

• $OH = x \cdot tan(30^\circ) = y \cdot tan(80^\circ)$


• $CH = x \cdot tan(50^\circ) = y \cdot tan(70^\circ)$


• $x+y = l = 20$
  

Từ (1) suy ra $y = x \cdot \dfrac{tan(30^\circ)}{tan(80^\circ)}$. Thay vào (3) ta có:

$x + x \cdot \dfrac{tan(30^\circ)}{tan(80^\circ)} = 20 \Leftrightarrow x = \dfrac{20}{1 + \dfrac{tan(30^\circ)}{tan(80^\circ)}} \approx 17.25{\rm{m}}$

Suy ra $h = CH = x \cdot tan(50^\circ) = 17.25 \cdot tan(50^\circ) \approx 34.24\,\,{\rm{m}}$