Câu hỏi:

Chọn hệ trục tọa độ $A(0,0,0), B(a,0,0), D(0,a,0), A'(0,0,a)$.

Khi đó ta có: $A'(0,0,a)$, $B(a,0,0)$, $M(0, a/2, a)$, $N(a/2, a, a)$.

$
\overrightarrow{MN} = (\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, 0)$.

$
\overrightarrow{A'B} = (a, 0, -a)$.

Ta có: $\cos(\varphi) = \frac{\overrightarrow{MN} \cdot \overrightarrow{A'B}}{|\overrightarrow{MN}| |\overrightarrow{A'B}|} = \frac{\frac{a^2}{2} + 0 + 0}{\sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4} + 0} \sqrt{a^2 + 0 + a^2}} = \frac{\frac{a^2}{2}}{\sqrt{\frac{a^2}{2}} \sqrt{2a^2}} = \frac{\frac{a^2}{2}}{a^2} = \frac{1}{2}$.

Suy ra $\varphi = 60^\circ$.

Gọi $x, y$ lần lượt là khoảng cách từ giao điểm của lưới với bờ ngang và bờ dọc tới gốc tọa độ.

Khi đó, phương trình đường thẳng của lưới có dạng: $\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} = 1$

Vì lưới đi qua $A(5, 12)$ nên ta có: $\dfrac{5}{a} + \dfrac{12}{b} = 1$

Diện tích tam giác được tạo bởi lưới và hai bờ là: $S = \dfrac{1}{2}ab$

Ta cần tìm $a, b$ sao cho $S$ nhỏ nhất.

Áp dụng bất đẳng thư Cauchy cho hai số dương $\dfrac{5}{a}$ và $\dfrac{12}{b}$, ta có:

$1 = \dfrac{5}{a} + \dfrac{12}{b} \ge 2\sqrt{\dfrac{5}{a} \cdot \dfrac{12}{b}} = 2\sqrt{\dfrac{60}{ab}}$

$\Rightarrow 1 \ge 4 \cdot \dfrac{60}{ab} \Rightarrow ab \ge 240$

$\Rightarrow S = \dfrac{1}{2}ab \ge \dfrac{1}{2} \cdot 240 = 120$

Dấu "=" xảy ra khi $\dfrac{5}{a} = \dfrac{12}{b} \Rightarrow b = \dfrac{12a}{5}$. Thay vào $\dfrac{5}{a} + \dfrac{12}{b} = 1$, ta được:

$\dfrac{5}{a} + \dfrac{12}{\dfrac{12a}{5}} = 1 \Rightarrow \dfrac{5}{a} + \dfrac{5}{a} = 1 \Rightarrow \dfrac{10}{a} = 1 \Rightarrow a = 10$

$\Rightarrow b = \dfrac{12 \cdot 10}{5} = 24$

Khi đó, $S = \dfrac{1}{2} \cdot 10 \cdot 24 = 120 m^2$

Vậy diện tích nhỏ nhất có thể giăng lưới là $120 m^2$.

Ta có:

• Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là $x = 1$.


• Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là $y = 2$.


• Do đó, $I(1; 2)$.

Gọi $M(x_0; y_0)$ là một điểm thuộc $(C)$. Khi đó, $y_0 = \frac{2x_0 - 1}{x_0 - 1}$.
Ta có: $y' = \frac{-1}{(x - 1)^2}$.
Phương trình tiếp tuyến tại $M$ là:
$y = y'(x_0)(x - x_0) + y_0 = \frac{-1}{(x_0 - 1)^2}(x - x_0) + \frac{2x_0 - 1}{x_0 - 1}$.

• Giao điểm $A$ của tiếp tuyến với tiệm cận đứng $x = 1$ là:
  $y_A = \frac{-1}{(x_0 - 1)^2}(1 - x_0) + \frac{2x_0 - 1}{x_0 - 1} = \frac{1}{x_0 - 1} + \frac{2x_0 - 1}{x_0 - 1} = \frac{2x_0}{x_0 - 1}$.
  Vậy $A(1; \frac{2x_0}{x_0 - 1})$.


• Giao điểm $B$ của tiếp tuyến với tiệm cận ngang $y = 2$ là:
  $2 = \frac{-1}{(x_0 - 1)^2}(x - x_0) + \frac{2x_0 - 1}{x_0 - 1} \Leftrightarrow \frac{1}{(x_0 - 1)^2}(x - x_0) = \frac{2x_0 - 1}{x_0 - 1} - 2 = \frac{-1}{x_0 - 1}$
  $\Leftrightarrow x - x_0 = -(x_0 - 1) \Leftrightarrow x = x_0 - (x_0 - 1) = 1$.
  $\Rightarrow x = x_0 + (x_0 - 1) = 2x_0 - 1$. Vậy $B(2x_0 - 1; 2)$.

$IA = \sqrt{(1 - 1)^2 + (\frac{2x_0}{x_0 - 1} - 2)^2} = \sqrt{(\frac{2}{x_0 - 1})^2} = |\frac{2}{x_0 - 1}|$.
$IB = \sqrt{(2x_0 - 1 - 1)^2 + (2 - 2)^2} = |2x_0 - 2| = 2|x_0 - 1|$.
$AB = \sqrt{(2x_0 - 1 - 1)^2 + (2 - \frac{2x_0}{x_0 - 1})^2} = \sqrt{4(x_0 - 1)^2 + \frac{4}{(x_0 - 1)^2}} = 2\sqrt{(x_0 - 1)^2 + \frac{1}{(x_0 - 1)^2}}$.
Chu vi tam giác $IAB$ là: $P = IA + IB + AB = |\frac{2}{x_0 - 1}| + 2|x_0 - 1| + 2\sqrt{(x_0 - 1)^2 + \frac{1}{(x_0 - 1)^2}}$.
Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số dương:
$(x_0 - 1)^2 + \frac{1}{(x_0 - 1)^2} \ge 2\sqrt{(x_0 - 1)^2 . \frac{1}{(x_0 - 1)^2}} = 2$.
$P = 2(|x_0 - 1| + |\frac{1}{x_0 - 1}|) + 2\sqrt{(x_0 - 1)^2 + \frac{1}{(x_0 - 1)^2}} \ge 4\sqrt{|x_0 - 1| . |\frac{1}{x_0 - 1}|} + 2\sqrt{2} = 4 + 2\sqrt{2}$.
Vậy chu vi tam giác $IAB$ nhỏ nhất bằng $4 + 2\sqrt{2}$.
$\Rightarrow a = 4, b = 8$.
Vậy $a - b + 4 = 4 - 8 + 4 = 0$.

Gọi $\overrightarrow{F_{12}}$ là hợp lực của $\overrightarrow{F_1}$ và $\overrightarrow{F_2}$. Ta có:

• $F_{12}^2 = F_1^2 + F_2^2 + 2F_1F_2cos(110^\circ) = 9^2 + 4^2 + 2*9*4*cos(110^\circ) \approx 82.69$
• $F_{12} = \sqrt{82.69} \approx 9.09 N$

Vì $\overrightarrow{F_3}$ vuông góc với $\overrightarrow{F_{12}}$ nên hợp lực $\overrightarrow{F}$ của ba lực là:
$F^2 = F_{12}^2 + F_3^2 = 82.69 + 7^2 = 131.69$
$F = \sqrt{131.69} \approx 11.47 N$\approx 13 N