Câu hỏi:

Nhận xét: chỉ có điểm \(\left( 5;3 \right)\) thỏa mãn hệ bất phương trình đã cho.

Do \(AH\bot BC\) nên \(\overrightarrow{HA}.\overrightarrow{CB}=0\).

Do \(BH\bot AC\) nên \(\overrightarrow{HB}.\overrightarrow{CA}=0\).

Gọi \(D\) là hình chiếu của \(A\) trên \(BC\). Khi đó, sử dụng công thức hình chiếu ta có

\(\begin{array}{*{35}{l}}   \overrightarrow{MH}\cdot \overrightarrow{MA} & =(\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CH})\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BA})  \\   {} & =\overrightarrow{MC}\cdot \overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\cdot \overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CH}\cdot \overrightarrow{MB}+\overrightarrow{CH}\cdot \overrightarrow{BA}  \\   {} & =-\frac{BC}{4}+\overrightarrow{MC}\cdot \overrightarrow{BD}+\overrightarrow{MB}\cdot \overrightarrow{CD}=\overrightarrow{MB}(\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{BD})-\frac{B{{C}^{2}}}{4}  \\   {} & =\overrightarrow{MB}\cdot \overrightarrow{CB}-\frac{B{{C}^{2}}}{4}=\frac{B{{C}^{2}}}{2}-\frac{B{{C}^{2}}}{4}=\frac{B{{C}^{2}}}{4}  \\\end{array}\)

Theo chứng minh trên ta có:

\(M{{H}^{2}}+M{{A}^{2}}={{\left( \overrightarrow{MH}-\overrightarrow{MA} \right)}^{2}}+2\overrightarrow{MH}.\overrightarrow{MA}=A{{H}^{2}}+\frac{B{{C}^{2}}}{2}.\)

\(y=2{{x}^{2}}-2x+3\) \(\left( a=2,b=-2,c=3 \right)\).

Tập xác định: \(D=\mathbb{R}\). 

Đỉnh \(I\) của parabol có: 

\({{x}_{I}}=-\frac{b}{2a}=\frac{1}{2}\); \({{y}_{I}}=2.{{(\frac{1}{2})}^{2}}-2.\left( \frac{1}{2} \right)+\frac{3}{2}=\frac{5}{2}\) .

hay \(I\left( \frac{1}{2};\frac{3}{2} \right)\).

Định hướng cho bảng biến thiên: 

Do \(a=2>0\) nên bề lõm parabol hướng lên.

Bảng biến thiên:

Kết luận:

+ Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng \(\left( \frac{1}{2};+\infty  \right)\) và nghịch biến trên khoảng \(\left( -\infty ;\frac{1}{2} \right)\).

+ Giá trị nhỏ nhất của hàm số là \({{y}_{\text{min}}}=\frac{3}{2}\), khi đó \(x=\frac{1}{2}\). (Hàm số không có giá trị lớn nhất).

+ Hàm số đã cho là hàm số bậc nhất \(\Leftrightarrow m-7\ne 0\Leftrightarrow m\ne 7\)

Suy ra câu a đúng.

+ Giả sử \(A\in \left( d \right)\Leftrightarrow 2=\left( m-7 \right).0+2\) (Luôn đúng với mọi \(m\))

Suy ra câu b đúng.

+ Khi \(m=6\Rightarrow \left( d \right):y=-x+2\)

Gọi \(A,\,B\) lần lượt là giao điểm của \(\left( d \right)\) và \(Ox,\,Oy\)\(\Rightarrow A\left( 2;0 \right),\,B\left( 0;2 \right)\)

Nhận xét: \(\Delta OAB\) vuông tại \(O\) \(\Rightarrow {{S}_{\Delta OAB}}=\frac{1}{2}OA.OB=2\).

Suy ra câu c sai.

+ Hàm số đã cho là hàm số nghịch biến \(\Leftrightarrow m-7<0\Leftrightarrow m<7\)

Mà \(m\) là số nguyên dương nên \(m\in \left\{ 1;2;3;4;5;6 \right\}\).

Suy ra câu d đúng.

a, b) Ta có \(\left[ \begin{align}  & m>2 \\ 

 & m<-1 \\ \end{align} \right.\) thì \(\frac{m-2}{m+1}>0\) nên hàm số đã cho đồng biến trên \(\mathbb{R}\). 

Vậy mệnh đề a đúng, mệnh đề b sai.

c) Với \(-1<m<2\) thì hàm số đã cho nghịch biến trên \(\mathbb{R}\), có \(2\) giá trị nguyên của \(m\) là \(m=0\) hoặc \(m=1\) để hàm số đã cho nghịch biến trên \(\mathbb{R}\) nên mệnh đề c đúng.

d) + Với \(\frac{m-2}{m+1}>0\Leftrightarrow \left[\begin{align}  & m>2 \\  & m<-1 \\ \end{align} \right.\) thì hàm số đã cho đồng biến trên \(\mathbb{R}\)

\(\Rightarrow \underset{\left[ -2;3 \right]}{\mathop{\text{max}}}\,y=y\left( 3 \right)=\frac{3\left( m-2 \right)}{m+1}+2m-1=5\)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align}  & m=-1+\sqrt{7}\,\,\left( l \right) \\  & m=-1-\sqrt{7}\,\,\left( tm \right) \\ \end{align} \right.\)

+ Với \(\frac{m-2}{m+1}<0\Leftrightarrow -1<m<2\) thì hàm số đã cho nghịch biến trên \(\mathbb{R}\)

\(\Rightarrow \underset{\left[ -2;3 \right]}{\mathop{\text{max}}}\,y=y\left( -2 \right)=-2\frac{m-2}{m+1}+2m-1=5\)\(\Leftrightarrow m=\frac{1\pm \sqrt{17}}{2}\,\,\left( tm \right)\).

Vậy có \(3\) giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu nên mệnh đề d sai.