Một công ty du lịch thông báo giá tiền cho chuyến đi tham quan của một nhóm khách du lịch như sau: \(50\) khách đầu tiên có giá là \(300\,000\) đồng/người. Nếu có nhiều hơn \(50\) người đăng kí thì cứ có thêm \(1\) người, giá vé sẽ giảm \(5\,000\) đồng/người cho toàn bộ hành khách. Số người của nhóm khách du lịch nhiều nhất là bao nhiêu thì công ty không bị lỗ? Biết rằng chi phí thực sự cho chuyến đi là \(15\,080\,000\) đồng.

Câu 20:

Một nhà trọ có giá \(35\) phòng và có giá thuê là \(2,5\) triệu đồng trên mỗi phòng thì khách thuê luôn kín phòng. Qua khảo sát thị trường thì thấy rằng nếu cứ tăng \(100\,000\) đồng trên \(1\) phòng thì có \(1\) phòng trống. Tính số tiền trên mỗi phòng (đơn vị triệu đồng) để lợi nhuận mà chủ nhà nhận được lớn nhất. (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)

Lời giải:

Đáp án đúng:

3

Gọi \(x\) (trăm nghìn) đồng là số tiền mà chủ nhà dự định tăng giá trên mỗi phòng.

Khi đó:

Lợi nhuận thu được trên mỗi phòng là \(25+x\) (trăm nghìn đồng).

Số lượng phòng sẽ cho thuê được trong một tháng sau khi tăng giá là

\(35-x\)(trăm nghìn đồng).

Lợi nhuận mà chủ thu được trong một tháng là:

\(f\left( x \right)=\left( 35-x \right)\left( 25+x \right)=875+10x-{{x}^{2}}\).

Xét hàm số \(f\left( x \right)=875+10x-{{x}^{2}}\) có đồ thị là parabol có hoành độ đỉnh \(x=5\) mà hệ số \(a=-1\) nên

\(\underset{\text{max}}{\mathop{f}}\,\left( x \right)=f\left( 5 \right)=900\).

Vậy giá mới của phòng là \(3\) triệu đồng thì lợi nhuận thu được là cao nhất.

Câu 21:

Có hai địa điểm \(A,\,B\) cùng nằm trên một tuyến quốc lộ thẳng. Khoảng cách giữa \(A\) và \(B\) là \(30,5\) km. Một xe máy xuất phát từ \(A\) lúc \(7\) giờ theo chiều từ \(A\) đến \(B\). Lúc \(9\) giờ, một ô tô xuất phát từ \(B\) chuyển động thẳng đều với vận tốc \(80\) km/h theo cùng chiều với xe máy. Chọn \(A\) làm mốc, chọn thời điểm \(7\) giờ làm mốc thời gian và chọn chiều từ \(A\) đến \(B\) làm chiều dương. Phương trình chuyển động của xe máy là \(y=2{{t}^{2}}+36t\), trong đó \(y\) tính bằng ki-lô-mét, \(t\) tính bằng giờ. Đến lúc ô tô đuổi kịp xe máy thì hai xe dừng lại, vị trí đó cách điểm \(B\) bao nhiêu km?

Lời giải:

Đáp án đúng:

120

Phương trình chuyển động của ô tô là

\(y=30,5+80\left( t-2 \right)=80t-129,5\).

Thời điểm \(t\) ô tô đuổi kịp xe máy tương ứng với giao điểm của hai đồ thị hàm số

\(y=2{{t}^{2}}+36t\) và \(y=80t-129,5\).

Xét phương trình

\(2{{t}^{2}}+36t=80t-129,5\)\(\Leftrightarrow 2{{t}^{2}}-44t+129,5=0\)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{r}} t=3,5 \\ t=18,5. \\\end{array} \right.\).

Vậy ôtô đuổi kịp xe máy sớm nhất ứng với thời điểm \(t=3,5\) tại vị trí cách điểm \(B\) là:

\(150,5-30,5=120\) (km).

Câu 22:

Tìm giá trị nhỏ nhất của biết thức \(F=x-y\) với điều kiện

\(\left\{ \begin{align} & 0\le y\le 4 \\ & x\ge 0 \\ & x-y-1\le 0 \\ & x+2y-10\le 0 \\ \end{align} \right.\)

Lời giải:

Đáp án đúng:

-4

Miền nghiệm là ngũ giác \(ABCOE\) với

\(A\left( 4;3 \right),\,B\left( 2;4 \right),\,C\left( 0;4 \right),\,E\left( 1;0 \right),\,O\left( 0;0 \right)\).

Nhận thấy biểu thức \(F=x-y\) chỉ đạt giá trị nhỏ nhất tại các điểm \(A,\,B,\,C,\,O\) hoặc \(E\).

Tại \(A\left( 4;3 \right)\) thì \(F=1.\)

Tại \(B\left( 2;4 \right)\) thì \(F=-2.\)

Tại \(C\left( 0;4 \right)\) thì \(F=-4.\)

Tại \(E\left( 1;0 \right)\) thì \(F=1.\)

Tại \(O\left( 0;0 \right)\). thì \(F=0.\)

Vậy \(\text{min}F=-4\) khi \(x=0,\) \(y=4.\)

Câu 1:

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC,\,BC=a\). Độ dài vectơ \(\overrightarrow{AG}\) là

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\).

Ta có \(\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AM}\).

Nên \(\left| \overrightarrow{AG} \right|=AG=\frac{2}{3}AM=\frac{a}{3}\).

Câu 2:

Từ hai điểm phân biệt \(A,\,B\) xác định được bao nhiêu vectơ khác \(\vec{0}\)?

Lời giải:

Đáp án đúng: C

Xác định được hai vectơ là: \(\overrightarrow{AB},\,\overrightarrow{BA}\).

Câu 3:

Một nghiệm của phương trình \(\sqrt{2x-1}=\sqrt{{{x}^{2}}-2x-6}\) là

Lời giải: