Câu hỏi:

Khi hai bạn An và Bình thực hiện đúng kỹ thuật để xe di chuyển hiệu quả nhất thì hai lực tác động vào xe là \(\overrightarrow{{{F}_{1}}}\) và \(\overrightarrow{{{F}_{2}}}\) phải cùng hướng. 

Khi đó, lực tổng hợp tác động vào xe là \(\vec{F}=\overrightarrow{{{F}_{1}}}+\overrightarrow{{{F}_{2}}}\) có độ lớn là \(\left| {\vec{F}} \right|=F={{F}_{1}}+{{F}_{2}}=5\) N.

Hàm số \(y=\frac{1}{\sqrt{{{x}^{2}}-2mx-2m+3}}\) có tập xác định là \(\mathbb{R}\) khi \({{x}^{2}}-2mx-2m+3>0\) với mọi \(x\in \mathbb{R}\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & a>0 \\  & \Delta \text{ }\!\!'\!\!\text{ }<0 \\ \end{align} \right.\)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}  & 1>0 \\  & {{m}^{2}}+2m-3<0 \\ \end{align} \right.\)\(\Leftrightarrow -3<m<1\).

Do \(m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{ -2;-1;0 \right\}\).

Vậy có \(3\) giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu.

Gọi \(x\) là số lượng người khách từ thứ \(51\) trở lên của nhóm, \(x\in \mathbb{N}\).

Khi đó, tổng số khách của nhóm là \(50+x\) (người).

Nếu có nhiều hơn \(50\) người đăng kí thì cứ thêm \(1\) người, giá vé sẽ giảm \(5\,000\) đồng/người.

Do đó, giá vé cho mỗi hành khách trong nhóm \(50+x\) là: 

\(300\,000-5\,000\,x\) (đồng).

Khi đó, tổng số tiền vé của nhóm \(50+x\) người, hay doanh thu của công ty du lịch là:

\(A=\left( 300\,000-5\,000x \right).\left( 50+x \right)=-5\,000{{x}^{2}}+50\,000x+15\,000\,000\) (đồng).

Vì chi phí thực sự cho chuyến đi là \(15\,080\,000\) nên lợi nhuận mà công ty thu được là:

\(f\left( x \right)=A-15\,080\,000=-5\,000{{x}^{2}}+50\,000x-80\,000\).

Trục xét dấu của \(f\left( x \right)\):

Công ty không lỗ khi và chỉ khi \(f\left( x \right)\ge 0\Leftrightarrow 2\le x\le 8\).

Do đó, công ty du lịch không bị lỗ khi nhóm du khách nhiều nhất là

\(50+8=58\) (người).

Gọi \(x\) (trăm nghìn) đồng là số tiền mà chủ nhà dự định tăng giá trên mỗi phòng.

Khi đó:

Lợi nhuận thu được trên mỗi phòng là \(25+x\) (trăm nghìn đồng).

Số lượng phòng sẽ cho thuê được trong một tháng sau khi tăng giá là 

\(35-x\)(trăm nghìn đồng).

Lợi nhuận mà chủ thu được trong một tháng là:

\(f\left( x \right)=\left( 35-x \right)\left( 25+x \right)=875+10x-{{x}^{2}}\).

Xét hàm số \(f\left( x \right)=875+10x-{{x}^{2}}\) có đồ thị là parabol có hoành độ đỉnh \(x=5\) mà hệ số \(a=-1\) nên 

\(\underset{\text{max}}{\mathop{f}}\,\left( x \right)=f\left( 5 \right)=900\).

Vậy giá mới của phòng là \(3\) triệu đồng thì lợi nhuận thu được là cao nhất.

Phương trình chuyển động của ô tô là 

\(y=30,5+80\left( t-2 \right)=80t-129,5\).

Thời điểm \(t\) ô tô đuổi kịp xe máy tương ứng với giao điểm của hai đồ thị hàm số 

\(y=2{{t}^{2}}+36t\) và \(y=80t-129,5\).

Xét phương trình 

\(2{{t}^{2}}+36t=80t-129,5\)\(\Leftrightarrow 2{{t}^{2}}-44t+129,5=0\)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{*{35}{r}}   t=3,5  \\   t=18,5.  \\\end{array} \right.\).

Vậy ôtô đuổi kịp xe máy sớm nhất ứng với thời điểm \(t=3,5\) tại vị trí cách điểm \(B\) là:

\(150,5-30,5=120\) (km).