Câu hỏi:

Do \(\hat A + \hat B + \hat C = 180{^ \circ }\) (tổng ba góc trong tam giác) nên ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\rm{cos}}\left( {B + C} \right) =  - {\rm{cos}}A}\\{{\rm{sin}}\left( {B + C} \right) = {\rm{sin}}A}\end{array}} \right.\).

Vậy \(P = {\rm{sin}}A \cdot {\rm{cos}}\left( {B + C} \right) + {\rm{cos}}A \cdot {\rm{sin}}\left( {B + C} \right) = {\rm{sin}}A \cdot \left( { - {\rm{cos}}A} \right) + {\rm{cos}}A \cdot {\rm{sin}}A\)

\( =  - {\rm{sin}}A \cdot {\rm{cos}}A + {\rm{cos}}A \cdot {\rm{sin}}A = 0\).

Áp dụng hệ quả của định lí côsin trong tam giác \(ABC\), ta có:

\({\rm{cos}}A = \frac{{A{C^2} + A{B^2} - B{C^2}}}{{2AC \cdot AB}} = \frac{{\sqrt 3 AC \cdot AB}}{{2AC \cdot AB}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

. Suy ra \(\hat A = 30{^ \circ }\).  

Vậy \({\rm{sin}}\left( {B + C} \right) = {\rm{sin}}150{^ \circ } = 0,5.\)

Số học sinh tham gia môn điền kinh hoặc môn bóng đá là: \(40 - 16 = 24\) (học sinh).

Số học sinh chỉ tham gia môn điền kinh là \(24 - 14 = 10\) (học sinh).

Số học sinh chỉ tham gia môn bóng đá là  \(24 - 18 = 6\) (học sinh).

Vậy số học sinh chỉ tham gia một trong hai môn là \(10 + 6 = 16\) (học sinh).

Gọi số xe loại A cần thuê là \(x\,\,\left( {x \ge 0} \right)\).

Số xe loại B cần thuê là \(y\,\,\left( {y \ge 0} \right),x,y \in \mathbb{N}\).

Số người có thể chở tối đa là: \(20x + 10y\) (người).

Số tấn hàng có thể chở tối đa là: \(0,5x + 2y\) (tấn).

Theo đề bài, ta có:

- Cần chở ít nhất 100 người: \(20x + 10y \ge 100\).

- Cần chở ít nhất 6 tấn hàng: \(0,5x + 2y \ge 6\).

- Có 8 chiếc xe loại A và 6 chiếc xe loại B: \(x \le 8\), \(y \le 6\).

- Chi phí bỏ ra: \(F\left( {x;y} \right) = 4x + 3y\) (triệu đồng).

Ta có hệ bất phương trình:

   \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{20x + 10y \ge 100}\\{0,5x + 2y \ge 6}\\{0 \le x \le 8}\\{0 \le y \le 6}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x + y \ge 10}\\{x + 4y \ge 12}\\{0 \le x \le 8}\\{0 \le y \le 6}\end{array}} \right.\)

(I).

Bài toán trở thành tìm x, y thoả mãn hệ bất phương trình (I) để \(F\left( {x;y} \right) = 4x + 3y\) nhỏ nhất.

Miền nghiệm của hệ bất phương trình (I) là miền tứ giác ABCD kể cả biên.

Toạ độ 4 đỉnh của miền nghiệm là: \(A\left( {4\,;\,2} \right)\), \(B\left( {8\,;\,1} \right)\), \(C\left( {8\,;\,6} \right)\), \(D\left( {2\,;\,6} \right)\).

Suy ra \(F\left( {x;y} \right) = 4x + 3y\) đạt GTNN bằng 22 tại\(\left( {4;2} \right)\).

Vậy doanh nghiệp nên thuê 4 xe loại A và 2 xe loại B để chi phí thấp nhất, và chi phí thấp nhất là 22 triệu đồng.

Có \(\widehat {CAH} = {\alpha _1} = 30{^ \circ },\,\,\widehat {CBH} = {\beta _1} = 70{^ \circ } \Rightarrow \widehat {ACB} = \widehat {CBH} - \widehat {CAH} = 40{^ \circ }\).

Áp dụng định lí sin vào \({\rm{\Delta }}ABC\), ta có: \(\frac{{BC}}{{{\rm{sin}}\widehat {CAH}}} = \frac{{AB}}{{{\rm{sin}}\widehat {ACB}}} \Rightarrow BC = \frac{{20{\rm{sin}}30{^ \circ }}}{{{\rm{sin}}40{^ \circ }}}\)

Xét \({\rm{\Delta }}HBC\) vuông tại H, ta có: \({\rm{sin}}\widehat {CBH} = \frac{{CH}}{{BC}} \Rightarrow CH = BC{\rm{sin}}\widehat {CBH} = \frac{{20{\rm{sin}}30{^ \circ }}}{{{\rm{sin}}40{^ \circ }}} \cdot {\rm{sin}}70{^ \circ }\).

Có \(\widehat {OAH} = {\alpha _2} = 50{^ \circ },\,\,\widehat {OBH} = {\beta _2} = 80{^ \circ } \Rightarrow \widehat {AOB} = 30{^ \circ }\).

Áp dụng định lí sin vào \({\rm{\Delta }}ABO\), ta có: \(\frac{{BO}}{{{\rm{sin}}\widehat {OAH}}} = \frac{{AB}}{{{\rm{sin}}\widehat {AOB}}} \Rightarrow BO = \frac{{20{\rm{sin}}50{^ \circ }}}{{{\rm{sin}}30{^ \circ }}}\).

Xét \({\rm{\Delta }}HBO\) vuông tại H, ta có: \({\rm{sin}}\widehat {OBH} = \frac{{HO}}{{BO}} \Rightarrow HO = BO{\rm{sin}}\widehat {OBH} = \frac{{20{\rm{sin}}50{^ \circ }}}{{{\rm{sin}}30{^ \circ }}} \cdot {\rm{sin}}80{^ \circ }\).

Vậy  \(h = OC = HO - CH = \frac{{20{\rm{sin}}50{^ \circ }}}{{{\rm{sin}}30{^ \circ }}} \cdot {\rm{sin}}80{^ \circ } - \frac{{20{\rm{sin}}30{^ \circ }}}{{{\rm{sin}}40{^ \circ }}} \cdot {\rm{sin}}70{^ \circ } \approx 15,56\)(m).