Một vật đang chuyển động đều với vận tốc \(v_0\) (m/s) thì bắt đầu tăng tốc với gia tốc \(a(t) = v_0t+t^2\) (m/s\(^2\)), trong đó \(t\) là khoảng thời gian được tính bằng giây kể từ thời điểm vật bắt đầu tăng tốc. Biết quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 3 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc là 100 m. Tính vận tốc ban đầu \(v_0\) (m/s) của vật (làm tròn đến hàng phần mười).

Trong một bài thực hành huấn luyện quân sự có một tình huống chiến sĩ phải bơi qua sông để tấn công mục tiêu ở ngay phía bờ bên kia sông. Biết rằng lòng sông rộng 100m và vận tốc bơi của chiến sĩ bằng một phần ba vận tốc chạy trên bộ. Biết dòng sông là thẳng, mục tiêu cách chiến sỹ 1km theo đường chim bay và chiến sỹ cách bờ bên kia 100m. Hãy cho biết chiến sỹ phải bơi bao nhiêu mét để đến được mục tiêu nhanh nhất (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Theo Định luật Hooke, lực cần dùng để kéo giãn lò xo thêm \(x\) mét từ độ dài tự nhiên là \(f\left( x \right)=k.x\left( N \right)\) với \(k\left( N/m \right)\) là độ cứng của lò xo. Một lực \(50N\) được dùng để kéo giãn lò xo từ \(10cm\)đến độ dài \(15cm\). Hỏi cần thực hiện một công là bao nhiêu để kéo giãn lò xo từ \(15cm\) đến \(20cm\)?

Một công ty vận tải cần giao hàng đến tất cả các thành phố A, B, C, D, E (hình vẽ bên dưới). Chi phí di chuyển giữa các thành phố được mô tả trên hình. Xe giao hàng của công ty xuất phát từ một thành phố trong năm thành phố trên đi qua tất cả các thành phố còn lại đúng một lần sau đó trở lại thành phố ban đầu. Tìm chi phí thấp nhất của xe giao hàng.

Nhằm nâng cao cơ sở vật chất cho trường, anh Hùng đang cần đặt hàng làm một chiếc bảng tương tác thông minh hình chữ nhật \(a\times b\) có chức năng cảm ứng để phục vụ cho việc dạy học, biết rằng nếu cả chiều \(b\) đều tăng thêm một nửa thì bảng sẽ có kích thước là 85 inch (quy ước \(1\text{ }inch=2,54cm\) và kích thước ấy được đo bởi đường chéo của màn hình). Tiếp đến anh Hùng muốn phủ lớp chống lóe với 7500 đồng cho mỗi mét vuông trên màn (xem như độ dày của phần phủ là không đáng kể) và 15000 đồng mỗi mét phần silicon được dán ở viền ngoài cùng của màn hình. Vậy tổng số tiền cao nhất anh Hùng có thể bỏ ra để phủ lớp chống lóe và dán silicon là bao nhiêu nghìn đồng? (làm tròn đến phần nguyên).

Nhà máy A chuyên sản xuất một loại sản phẩm cho nhà máy Hai nhà máy thỏa thuận rằng, hằng tháng A cung cấp cho B số lượng sản phẩm theo đơn đặt hàng của B (tối đa 100 tấn sản phẩm). Nếu số lượng đặt hàng là x tấn sản phẩm thì giá bán cho mỗi tấn sản phẩm là \(P\left( x \right)=45-0,001{{x}^{2}}\) (triệu đồng). Chi phí để A sản xuất x tấn sản phẩm trong một tháng là \(C\left( x \right)=100+30x\) triệu đồng (gồm 100 triệu đồng chi phí cố định và 30 triệu đồng cho mỗi tấn sản phẩm). Hỏi Nhà máy B đặt đơn hàng bao nhiêu tấn thì nhà máy A thu được lợi nhuận lớn nhất? (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Một người nông dân có 15 000 000 đồng để làm một cái hàng rào hình chữ E dọc theo con sông (như hình vẽ) để làm một khu đất có hai phần chữ nhật để trồng rau. Đối với mặt hàng rào song song với bờ sông thì chi phí vật liệu là 60 000 đồng một mét, còn đối với ba mặt hàng rào song song nhau thì chi phí nguyên vật liệu là 50 000 đồng một mét. Tìm diện tích lớn nhất của đất rào thu được.

Một người đưa thư xuất phát từ bưu điện ở vị trí A, các điểm cần phát thư nằm dọc các con dường cần đi quBiết rằng người này phải đi trên mỗi con đường ít nhất một lần (để phát được thư cho tất cả các điểm cần phát nằm dọc theo con đường đó) và cuối cùng quay lại điểm xuất phát. Độ dài các con đường như hình vẽ (đơn vị độ dài). Hỏi tổng quãng đường người đưa thư có thể đi ngắn nhất có thể là bao nhiêu?

Nhà máy A chuyên sản xuất một loại sản phẩm cung cấp cho nhà máy Hai nhà máy này thoả thuận rằng, hằng tuần A cung cấp cho B số lượng sản phẩm theo đơn đặt hàng của B (tối đa 100 sản phẩm). Nếu số lượng đặt hàng là \(x\) sản phẩm thì giá bán cho mỗi sản phẩm là \(P\left( x \right)=45-0,001{{x}^{2}}\) (triệu đồng). Chi phí để A sản xuất \(x\) sản phẩm trong một tuần là \(C\left( x \right)=100+30x\) (triệu đồng) (gồm 100 triệu đồng chi phí cố định và 30 triệu đồng cho mỗi sản phẩm). Hỏi nhà máy A bán cho nhà máy B bao nhiêu sản phẩm mỗi tuần để thu được lợi nhuận nhiều nhất? (Số sản phẩm là số nguyên dương).

Một doanh nghiệp dự định sản xuất không quá 500 sản phẩm. Nếu doanh nghiệp sản xuất \(x\) sản phẩm \(\left( 1\le x\le 500 \right)\) thì doanh thu nhận được khi bán hết số sân phẳm đó là: \(F\left( x \right)={{x}^{3}}-1999{{x}^{2}}+1001000x+250000\) (đồng), trong khi chi phí sản xuất bình quân cho một sản phẩm là: \(G\left( x \right)=x+1000+\frac{250000}{x}\) (đồng).

Doanh nghiệp cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận thu được là lớn nhất?

Ông Toàn có một mảnh đất phẳng hình elip có độ dài trục lớn bằng \({16}\) m và độ dài trục nhỏ là \({10}\) m. Ông để một dải đất rộng \({8}\) m làm sân, lối đi và dải đất này nhận trục bé của elip làm trục đối xứng đồng thời ông muốn trồnghoa hai bên mảnh đất còn lại. Biết kinh phí để trồng hoa là \({100\,000}\) đồng/m\({^2}\). Hỏi ông Toàn cần bao nhiêu triệu đồng trồng hoa trên phần đất đó (kết quả được làm tròn đến hàng trăm)?

Có hai xã \(A,\,B\) cùng ở một bên bờ sông. Khoảng cách từ hai xã đó đến bờ sông lần lượt là \(A{A}'=500m\), \(B{B}'=600m\). Người ta đo được \({A}'{B}'=2200m\) như hình vẽ dưới đây. Các kỹ sư muốn xây dựng một trạm cung cấp nước sạch nằm bên bờ sông cho người dân của hai xã sử dụng. Để tiết kiệm chi phí, các kỹ sư phải chọn một vị trí \(M\) của trạm cung cấp nước sạch đó trên đoạn \({A}'{B}'\) sao cho tổng khoảng cách từ hai xã đến vị trí \(M\) là nhỏ nhất. Giá trị nhỏ nhất của tổng khoảng cách đó bằng bao nhiêu mét? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Một tấm bìa cứng có kích thước \(60\text{ }\!\!~\!\!\text{ cm}\times 90\text{ }\!\!~\!\!\text{ cm}\) được gấp đôi thành một hình chữ nhật \(60\text{ }\!\!~\!\!\text{ cm}\times 45\text{ }\!\!~\!\!\text{ cm}\) như hình vẽ. Sau đó, cắt ra từ các góc của hình chữ nhật vừa gấp bốn hình vuông bằng nhau có cạnh \(x\left( \text{cm} \right)\). Tấm bìa được mở ra và sáu mép được gấp lên để tạo thành một hộp chữ nhật \(\left( \mathbf{H} \right)\) có nắp và đáy (như hình vẽ). Thể tích lớn nhất của khối \(\left( \mathbf{H} \right)\) bằng bao nhiêu lít? (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Trong hình bên cho biết một hình trụ bán kính đáy \(r\left( cm \right)\), chiều cao \(h\left( cm \right)\) nội tiếp hình nón có bán kính đáy \(9\,cm\), chiều cao \(18\,cm\). Tìm giá trị của \(r\) để thể tích của hình trụ là lớn nhất. (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị của \(cm\))

Một người đàn ông muốn chèo thuyền ở vị trí \(A\) tới điểm \(B\) về phía hạ lưu bờ đối diện, càng nhanh càng tốt, trên một bờ sông thẳng rộng \(3\,\,\text{km}\) (như hình vẽ).

Anh có thể chèo thuyền của mình trực tiếp qua sông để đến \(C\) và sau đó chạy đến \(B\), hay có thể chèo trực tiếp đến \(B\), hoặc anh ta có thể chèo thuyền đến một điểm \(D\) giữa \(C\) và \(B\) và sau đó chạy đến \(B\). Biết anh ấy có thể chèo thuyền \(6\,\,\text{km/}\,\text{h}\), chạy \(8\,\,\text{km/}\,\text{h}\) và quãng đường \(BC=8\,\,\text{km}\). Biết tốc độ của dòng nước là không đáng kể so với tốc độ chèo thuyền của người đàn ông. Gọi \(x\,\,\left( \text{km} \right)\) là độ dài quãng đường \(BD\). Xét tính đúng sai trong các khẳng định sau:

Nhà máy \(A\) chuyên sản xuất một loại sản phẩm cung cấp cho nhà máy \(B\). Hai nhà máy thoả thuận rằng, hàng tháng nhà máy \(A\) cung cấp cho nhà máy \(B\) số lượng sản phẩm theo đơn đặt hàng của \(B\) (tối đa \(100\) tấn sản phẩm). Nếu số lượng đặt hàng là \(x\) tấn sản phẩm thì giá bán cho mỗi tấn sản phẩm là \(P\left( x \right)=45-0,001{{x}^{2}}\) (triệu đồng). Chi phí để \(A\) sản xuất \(x\) tấn sản phẩm trong một tháng gồm \(100\) triệu đồng chi phí cố định và \(30\) triệu đồng cho mỗi tấn sản phẩm. Nhà máy \(A\) cần bán cho nhà máy \(B\) bao nhiêu tấn sản phẩm mỗi tháng để lợi nhuận thu được lớn nhất? (Làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Hình dưới đây là mương dẫn nước thủy lợi tại một địa phương phục vụ tưới tiêu cho ruộng đồng. Phần không gian trong mương để nước chảy có mặt cắt ngang là hình chữ nhật \(ABCD\). Với điều kiện lưu lượng nước qua mương cho phép thì diện tích mặt cắt \(ABCD\) là \(0\,,48\,{{m}^{2}}\). Để đảm bảo yêu cầu kỹ thuật tốt nhất cho mương, người ta cần thiết kế sao cho tổng độ dài \(T=AB+\,BC+CD\) là ngắn nhất. Khi đó chiều rộng đáy mương bằng bao nhiêu (biết chiều rộng phải dưới 1m, làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?

Một nhà sản xuất trung bình bán được 1000 ti vi màn hình phẳng mỗi tuần với giá 14 triệu đồng một chiếMột cuộc khảo sát thị trường chỉ ra rằng nếu cứ giảm giá bán 500 nghìn đồng, số lượng ti vi bán ra sẽ tăng thêm khoảng 100 ti vi mỗi tuần. Gọi \(x\) là số ti vi bán được mỗi tuần, \(p\) (triệu đồng) là giá bán của mỗi ti vi. Khi đó \(p=p\left( x \right)\) được gọi là hàm cầu.

Nhà ông Hải có một cái cổng hình chữ nhật, lối vào cổng có dạng parabol có kích thước như hình vẽ.

Ông Hải cần trang trí bề mặt (phần gạch chéo) của cổng. Hỏi ông Hải cần bao nhiêu tiền (đơn vị: triệu đồng) để trang trí, biết giá thành trang trí là 1200000 đồng/m²?

Nhà máy A chuyên sản xuất một loại sản phẩm cho nhà máy Hai nhà máy thỏa thuận rằng, hằng tháng A cung cấp cho B số lượng sản phẩm theo đơn đặt hàng của B (tối đa 100 tấn sản phẩm). Nếu số lượng đặt hàng là x tấn sản phẩm thì giá bán cho mỗi sản phẩm là \(P\left( x \right)=45-0,001{{x}^{2}}\) (triệu đồng). Chi phí để A sản xuất x tấn sản phẩm trong một tháng là \(C\left( x \right)=100+30x\) triệu đồng (gồm 100 triệu đồng chi phí cố định và 30 triệu đồng cho mỗi tấn sản phẩm). Nhà máy A bán cho B bao nhiêu tấn sản phẩm để lợi nhuận thu được là lớn nhất? (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Một nguời bình thường với chiều cao \(h\text{ }\!\!~\!\!\text{ cm}\), nặng \(w\) kilogram có diện tích bề mặt cơ thể \(S\) được mô hình hoá bởi công thức \(S=\frac{1}{60}\cdot {{w}^{0.5}}\cdot {{h}^{0.5}}\) (\({{\text{m}}^{2}}\)) (công thức Mosteller). Một đối tượng có chiều cao bằng 168 cm, nặng 62 kg tham gia một cuộc nghiên cứu về sức khỏe trong 5 năm. Người ta nhận thấy cân nặng của đối tượng quan sát thay đổi với tốc độ \({w}'\left( t \right)=0,02{{t}^{2}}+0,2t\text{ }\!\!~\!\!\text{ kg}/\) năm \(\left( 0\le t\le 5 \right)\) và chiều cao tăng đều mỗi năm \(0,5\text{ }\!\!~\!\!\text{ cm}\). Sau 5 năm quan sát, diện tích bề mặt cơ thề của đối tượng trên tăng thêm bao nhiêu centimet vuông so với ban đầu? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vi).