Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác \(ABC\) có \(A\left( -1;2\right)\), \(B\left( 3;4 \right)\), \(C\left( 1;-2 \right)\). Tìm tọa độ chân đường cao hạ từ đỉnh C của tam giác \(ABC\).

Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng \({d_1}:x - 2y + 1 = 0\) và \({d_2}: - 3x + 6y - 10 = 0\).

Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M(-2;1)\) và vuông góc với đường thẳng \(\Delta :\left\{ \begin{matrix}   x=1-3t  \\   y=-2+5t  \\\end{matrix} \right.\) có phương trình tham số là:

a) Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho vectơ \(\overrightarrow{u}\) và hai đường thẳng \({{d}_{1}},{{d}_{2}}\) như hình vẽ dưới đây. Biết hai điểm \(A,B\) lần lượt thuộc \({{d}_{1}},{{d}_{2}}\) sao cho \(\overrightarrow{AB}\) cùng phương với \(\overrightarrow{u}\) và tổng \(T=OA+OB+AB\) nhỏ nhất.

Tìm tọa độ vectơ \(\overrightarrow{OM}\) với \(M\) là trung điểm của \(AB\).

b) Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho tam giác \(ABC\) có \(C\left( 5;1 \right)\). Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\), điểm \(B\) thuộc đường thẳng \(x+y+6=0\), \(N\left( 0;1 \right)\) là trung điểm của \(AM\) Điểm \(D\left( -1;-7 \right)\) không thuộc đường thẳng \(AM\) và \(A,D\) nằm khác phía so với đường thẳng \(BC\) sao cho khoảng cách từ \(A\) và \(D\) đến đường thẳng \(BC\) bằng nhau. Tính giá trị biểu thức \(T=a.b\), trong đó \(A\left( a;b \right)\).

Phương trình đường thẳng \(d\) đi qua \(A\left( 4;-1 \right)\) và vuông góc với đường thẳng \(\Delta :3x-2y+1=0\) là:

Cho hai đường thẳng \({{d}_{1}}:\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   x=9+at  \\   y=7-2t\,  \\\end{array} \right.\) \(\left( t\in \mathbb{R} \right)\) và đường thẳng \({{d}_{2}}:x+4y-2=0\).

Cho điểm \(M\left( 1;-2 \right)\) và đường thẳng \(\Delta :x-2y+5=0\). Tọa độ hình chiếu của \(M\) trên \(\Delta \) là:

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy,\) cho tam giác \(ABC\) với \(A\left( 1;\,1 \right)\), \(B\left( 0;\,-2 \right)\), \(C\left( 4;\,2 \right)\). Gọi \(H\) là chân đường cao kẻ từ \(A\) xuống \(B\). Khi đó:

Trong mặt phẳng \(Oxy\), khoảng cách từ điểm \(M\left( 3;\,-4 \right)\) đến đường thẳng \(\Delta :3x-4y-1=0\).

Trong mặt phẳng \(\left( Oxy \right)\), cho hai đường thẳng \({{d}_{1}}:7x+7y-1=0\) và \({{d}_{2}}:28x+28y-8=0\). Vị trí tương đối của \({{d}_{1}}\) và \({{d}_{2}}\) là:

Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho hai điểm \(A\left( {1;2} \right)\) và \(B\left( { - 1; - 1} \right)\). Phương trình đường thẳng \(AB\) là

Cho hai đường thẳng \({{d}_{1}}\): \(\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   x=1-2{{t}_{1}}  \\    y=2+{{t}_{1}}  \\ \end{array} \right.\) và \({{d}_{2}}\): \(\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   x=2+{{t}_{2}}  \\    y=5+2{{t}_{2}}  \\ \end{array} \right.\).

Số đo góc giữa hai đường thẳng \({{d}_{1}}\) và \({{d}_{2}}\) bằng:

Đường thẳng đi qua \(M\left( {3; - 1} \right)\) và nhận vectơ \(\overrightarrow u = \left( { - 2;5} \right)\) làm vectơ chỉ phương có phương trình tham số là:

Khoảng cách giữa hai đường thẳng \({d_1}: - x + \sqrt 3 y - 1 = 0\) và \({d_2}:\sqrt 3 x - 3y = 0\) bằng:

Trong hệ tọa độ \(Oxy\), cho điểm \(A\left( 1\,;\,2 \right)\), \(B\left( -3\,;\,4 \right)\), đường thẳng \(\Delta \) là \(x+y-2=0\).

Tìm góc giữa hai đường thẳng \({\Delta _1}:x - 2y + 15 = 0\) và \({\Delta _2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - t\\y = 4 + 2t\end{array} \right.,t \in \mathbb{R}\).

Trong mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\), cho đường thẳng \(\left( d \right):2x + 3y - 2 = 0\). Đường thẳng \(d'//d\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {a; - 3} \right)\). Tìm \(a\).

Vị trí tương đối của hai đường thẳng \({{d}_{1}}:2x+5y-10=0\) và \({{d}_{2}}:\left\{ \begin{matrix}   x=2+2t  \\    y=5+3t  \\ \end{matrix} \right.\) là:

Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho hai đường thẳng \(d:3x-4y+4=0\) và \(d\text{ }\!\!'\!\!\text{ }:\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   x=-2+2t  \\   y=1+mt  \\\end{array} \right..\) Giá trị của tham số \(m\) để \(d\) và \(d\text{ }\!\!'\!\!\text{ }\) vuông góc là:

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) và đường thẳng \(\Delta :ax + by + c = 0\) với \({a^2} + {b^2} > 0\). Khi đó khoảng cách từ điểm \(M\) đến đường thẳng \(\Delta \) được tính bằng công thức nào sau đây?

Khoảng cách nhỏ nhất từ điểm \(M\left( 15;1 \right)\) đến một điểm bất kì thuộc đường thẳng \(\Delta :\left\{ \begin{align}  & x=2+3t \\  & y=t \\ \end{align} \right.\) bằng: