Trong khối pha lê hình lập phương \(ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'\) cạnh 8 cm có mặt cầu cách đều các mặt của hình lập phương \(ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'\) một khoảng 1 cm. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho đỉnh A trùng với gốc tọa độ O, đỉnh B thuộc tia Ox, đỉnh D thuộc tia Oy, đỉnh \({A}'\) thuộc tia Oz. Khi đó, phương trình của mặt cầu bên trong khối pha lê hình lập phương là \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+2ax+2by+2cz+d=0\). Tìm giá trị của \(a+b+c+d\).

Trong không gian \(Oxyz\) (đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét), một trạm thu phát sóng điện thoại di động được đặt ở vị trí \(I\left( 1;3;7 \right)\). Trạm thu phát sóng đó được thiết kế với bán kính phủ sóng là \(3\text{ }\!\!~\!\!\text{ km}\).

Hải đăng là một ngọn tháp được thiết kế để chiếu sáng từ một hệ thống đèn và thấu kính hoặc thời xưa là chiếu sáng bằng lửa, với mục đích hỗ trợ cho các hoa tiêu trên biển định hướng và tìm đường. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục là một mét), coi một phần mặt biển được khảo sát là mặt phẳng (Oxy), trục Oz hướng lên trên vuông góc với mặt biển; một ngọn hải đăng đỉnh cao 50 mét so với mực nước biển (Hình dưới) biết đỉnh ở vị trí \(I(21;35;50)\). Biết rằng ngọn hải đăng này được thiết kế với bán kính phủ sáng là \(4\) km.

Hệ thống định vị toàn cầu là một hệ thống cho phép xác định chính xác vị trí của một vật thể trong không gian.

Ta có thể mô phỏng cơ chế hoạt động của hệ thống GPS trong không gian như sau: Trong cùng một thời điểm, tọa độ của một điểm \(M\) trong không gian sẽ được xác định bởi ít nhất từ 3 vệ tinh trở lên, trên mỗi vệ tinh có một máy thu tín hiệu. Bằng cách so sánh sự sai lệch về thời gian từ lúc tín hiệu được phát đi với thời gian nhận phản hồi tín hiệu đó, mỗi máy thu tín hiệu xác định được khoảng cách từ vệ tinh đến vị trí \(M\) cần tìm tọa độ. Như vậy ta có thể hiểu rằng điểm \(M\) là giao điểm của các mặt cầu với tâm lần lượt là các vệ tinh đã gởi kết quả về hệ thống.

Ta xét ví một ví dụ cơ bản như sau để hiểu cơ chế xác định tọa độ của một vật thể bằng GPS: Cho bốn vệ tinh \(A\left( 1;-1;2 \right)\) ; \(B\left( 2;1;3 \right)\) ; \(C\left( -1;4;0 \right)\) ; \(D\left( 2;3;1 \right)\) Giả sử một chiếc máy bay quân sự đang ở vị trí \(M\) với kết quả mà 4 vệ tinh đo được tại 1 thời điểm là: \(MA=3\) ; \(MB=\sqrt{5}\) ; \(MC=\sqrt{26}\) ; \(MD=\sqrt{5}\) Khi đó tọa độ điểm \(M\left( x;y;z \right)\) Khi đó \(x+y+z\) bằng:

Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( 1;-2;7 \right),B\left( -3;8;-1 \right)\) và đường thẳng \(\left( \Delta  \right):\frac{x+1}{2}=\frac{y-1}{-3}=\frac{z+5}{4}\).

Trong mỗi ý a), b), c). d) ở mỗi câu, học sinh chọn đúng hoặc sai.

Trong không gian Oxyz, cho các điểm \(A(-3;0;1), B(0;-2;-3), C(0;0;3), D(-3;1;1).\) Gọi (S) là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.

Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu

\(\left( S \right)\text{: }{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+2x-4y-2z+\frac{9}{2}=0\)

và hai điểm \(A\left( 0;2;0 \right)\), \(B\left( 2;-6;-2 \right)\).

Bạn Bình đố bạn Nam tìm được đường kính của quả bóng rổ, biết rằng nếu đặt quả bóng ở một góc căn phòng hình hộp chữ nhật, sao cho quả bóng chạm với hai bức tường và nền nhà của căn phòng đó thì có một điểm \(M\) trên quả bóng với khoảng cách đến hai bức tường và nền nhà lần lượt là \(17\text{cm},18\text{cm},21\text{cm}\). Bán kính quả bóng bằng bao nhiêu biết loại bóng tiêu chuẩn có đường kính nằm trong khoảng từ 23 cm đến \(24,5\text{cm}\).

Trong không gian \({Oxyz}\), cho mặt cầu \({(S)}\) có tâm \({I(1;2;-1)}\) và bán kính bằng \({2}\). Phương trình của \({(S)}\) là:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(A\left( -2;4;0 \right)\), \(B\left( 0;2;-6 \right)\). Phương trình mặt cầu đường kính AB là:

Trong không gian \(O x y z\), cho mặt cầu \((S)\) có tâm là điểm \(I(a ; b ; c)\) và bán kính \(R\). Phương trình của \((S)\) là:

Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu

\(\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+2x-2z-7=0\).

Bán kính của mặt cầu đã cho bằng:

Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), mặt cầu tâm \(I\left( 3;\,-1;\,0 \right)\), bán kính \(R=5\) có phương trình là:

Trong không gian \({Oxyz}\), cho mặt cầu \({(S)}\) có tâm \({I(1;2;-1)}\) và bán kính bằng \({2}\). Phương trình của \({(S)}\) là:

Khi đặt hệ toạ độ \({Oxyz}\) vào không gian với đơn vị trên trục tính theo kilômét, người ta thấy rằng một không gian phủ sóng điện thoại có dạng một hình cầu \({(S)}\) (tập hợp những điểm nằm trong và nằm trên mặt cầu tương ứng). Biết mặt cầu \({(S)}\) có phương trình \({x^2+y^2+z^2-2x-4y-6z+5=0}\). Khoảng cách xa nhất giữa hai điểm thuộc vùng phủ sóng là bao nhiêu kilômét?

Trong không gian \(Oxyz\), cho đường thẳng \(\text{ }\!\!\Delta\!\!\text{ }:\left\{ \begin{array}{*{35}{l}}   x=-1+t  \\   y=-2+2t  \\   z=-3+2t  \\\end{array} \right.\) và mặt cầu \(\left( S \right):{{(x-3)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{(z-2)}^{2}}=25\). Gọi \(I\) là tâm của mặt cầu \(\left( S \right)\).

Trong không gian với hệ trục tọạ độ \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{{(x-1)}^{2}}+{{(y+1)}^{2}}+{{(z-2)}^{2}}=9\) và điểm \(M\left( 1;3;-1 \right)\), biết rằng các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ \(M\) tới các mặt cầu đã cho luôn thuộc một đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(J\left( a;b;c \right)\). Giá trị \(T=2a+b+c\) bằng bao nhiêu?

Hệ thống định vị toàn cầu GPS là một hệ thống cho phę́p xác định vị trí của một vật thể trong không gian. Trong cùng một thời điểm, vị trí của một điểm \(M\) trong không gian sẽ được xác định bởi bốn vệ tịnh cho truớc nhờ các bộ thu phát tín hiệu đặt trên các vệ tinh. Giả sử trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), có bốn vệ tinh lần lượt đặt tại các điểm \(A\left( 3;1;0 \right)\) \(,B\left( 3;6;6 \right)\), \(C\left( 4;6;2 \right)\), \(D\left( 6;2;14 \right)\); vị trí \(M\left( a;b;c \right)\) thỏa mãn \(MA=3,MB=6,MC=5,MD=13\). Khoảng cách từ điểm \(M\) đến điểm \(O\) bằng bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Hệ thống định vị toàn cầu GPS là một hệ thống cho phép xác định vị trí của một vật thể trong không gian. trong cùng một thời điểm, vị trí của một điểm M trong không gian sẽ được xác định bởi bốn vệ tinh cho trước nhờ các bộ thu phát tín hiệu đặt trên các vệ tinh. Giả sử trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, có bốn vệ tinh lần lượt đặt tại các điểm A(3;1;0), B(3;6;6), C(4;6;2), D(6;2;14); vị trí M(a;b;c) thỏa mãn MA = 3, MB = 6, MC = 5, MD = 13.

Khoảng cách từ điểm M đến điểm O bằng bao nhiêu?

Trong không gian Oxyz, xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu có phương trình \((x-3)^2+(y+1)^2+(z−2)^2 = 4\).

Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu có tâm \(I(0;1;3)\) và tiếp xúc với mặt phẳng \((P): x + 2y - z + 3 = 0\).