Hệ thống định vị toàn cầu là một hệ thống cho phép xác định chính xác vị trí của một vật thể trong không gian.

Ta có thể mô phỏng cơ chế hoạt động của hệ thống GPS trong không gian như sau: Trong cùng một thời điểm, tọa độ của một điểm \(M\) trong không gian sẽ được xác định bởi ít nhất từ 3 vệ tinh trở lên, trên mỗi vệ tinh có một máy thu tín hiệu. Bằng cách so sánh sự sai lệch về thời gian từ lúc tín hiệu được phát đi với thời gian nhận phản hồi tín hiệu đó, mỗi máy thu tín hiệu xác định được khoảng cách từ vệ tinh đến vị trí \(M\) cần tìm tọa độ. Như vậy ta có thể hiểu rằng điểm \(M\) là giao điểm của các mặt cầu với tâm lần lượt là các vệ tinh đã gởi kết quả về hệ thống.

Ta xét ví một ví dụ cơ bản như sau để hiểu cơ chế xác định tọa độ của một vật thể bằng GPS: Cho bốn vệ tinh \(A\left( 1;-1;2 \right)\) ; \(B\left( 2;1;3 \right)\) ; \(C\left( -1;4;0 \right)\) ; \(D\left( 2;3;1 \right)\) Giả sử một chiếc máy bay quân sự đang ở vị trí \(M\) với kết quả mà 4 vệ tinh đo được tại 1 thời điểm là: \(MA=3\) ; \(MB=\sqrt{5}\) ; \(MC=\sqrt{26}\) ; \(MD=\sqrt{5}\) Khi đó tọa độ điểm \(M\left( x;y;z \right)\) Khi đó \(x+y+z\) bằng:

Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y+3 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=16\). Tâm của \(\left( S \right)\) có tọa độ là:

Trong không gian \({Oxyz}\), cho mặt cầu \({(S)}\) có tâm \({I(1;2;-1)}\) và bán kính bằng \({2}\). Phương trình của \({(S)}\) là:

Trong mỗi ý a), b), c). d) ở mỗi câu, học sinh chọn đúng hoặc sai.

Trong không gian Oxyz, cho các điểm \(A(-3;0;1), B(0;-2;-3), C(0;0;3), D(-3;1;1).\) Gọi (S) là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.

Trong không gian Oxyz, xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu có phương trình \((x-3)^2+(y+1)^2+(z−2)^2 = 4\).

Trong không gian \(Oxyz\), mặt phẳng đi qua tâm của mặt cầu \({{(x-1)}^{2}}+{{(y+2)}^{2}}+{{z}^{2}}=12\) và song song với mặt phẳng \(\left( Oxz \right)\) có phương trình là:

Trong không gian với hệ trục tọạ độ \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{{(x-1)}^{2}}+{{(y+1)}^{2}}+{{(z-2)}^{2}}=9\) và điểm \(M\left( 1;3;-1 \right)\), biết rằng các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ \(M\) tới các mặt cầu đã cho luôn thuộc một đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(J\left( a;b;c \right)\). Giá trị \(T=2a+b+c\) bằng bao nhiêu?

Trong không gian với hệ tọa độ  cho hai mặt cầu \(\left( {{S}_{1}} \right),\text{ }\left( {{S}_{2}} \right)\) lần lượt có phương trình là \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x-2y-2z-22=0,\) \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-6x+4y+2z+5=0.\) Xét các mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\)  thay đổi nhưng luôn tiếp xúc cả hai mặt cầu đã cho. Gọi \(M\left( a;b;c \right)\) là điểm mà tất cả các mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) đi qua. Giá trị \(S=a+b+c\(bằng bao nhiêu ? (Kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

Hải đăng là một ngọn tháp được thiết kế để chiếu sáng từ một hệ thống đèn và thấu kính hoặc thời xưa là chiếu sáng bằng lửa, với mục đích hỗ trợ cho các hoa tiêu trên biển định hướng và tìm đường. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục là một mét), coi một phần mặt biển được khảo sát là mặt phẳng (Oxy), trục Oz hướng lên trên vuông góc với mặt biển; một ngọn hải đăng đỉnh cao 50 mét so với mực nước biển (Hình dưới) biết đỉnh ở vị trí \(I(21;35;50)\). Biết rằng ngọn hải đăng này được thiết kế với bán kính phủ sáng là \(4\) km.

Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right)\) có đường kính \(AB\) với tọa độ các điểm \(A\left( 1\,;\,2\,;\,-4 \right)\), \(B\left( 3\,;\,-2\,;\,0 \right)\) và mặt cầu \(\left( {{S}'} \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x+4y-6z+5=0\).

Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu

\(\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-8x+2y+1=0\).

Tọa độ tâm và bán kính mặt cầu \(\left( S \right)\) lần lượt là:

Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{{(x-2)}^{2}}+{{(y+1)}^{2}}+{{(z-3)}^{2}}=4\).

Tâm của \(\left( S \right)\) có tọa độ là:

Phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm \(A\left( 1;\,-2;2 \right)\) và bán kính \(R=8\)?

Hệ thống định vị toàn cầu \(GPS\) là một hệ thống cho phép xác định vị trí của một vật thể trong không gian. Trong cùng một thời điểm, vị trí của một điểm \(M\) trong không gian sẽ được xác định bởi bốn vệ tinh cho trước nhờ các bộ thu phát tín hiệu đặt trên các vệ tinh. Giả sử trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), có bốn vệ tinh lần lượt đặt tại các điểm \(\text{A}\left( 3;1;0 \right)\), \(\text{B}\left( 3;6;6 \right)\), \(\text{C}\left( 4;6;2 \right)\), \(\text{D}\left( 6;2;14 \right)\); vị trí \(\text{M}\left( \text{a};\text{b};\text{c} \right)\) thỏa mãn \(\text{MA}=3\), \(\text{MB}=6\), \(\text{MC}=5\), \(\text{MD}=13\). Khoảng cách từ điểm \(M\) đến điểm \(O\) bằng bao nhiêu?

Khi đặt hệ toạ độ \(O x y z\) vào không gian với đơn vị trên trục tính theo kilômét, người ta thấy rằng một không gian phủ sóng điện thoại có dạng một hình cầu \((S)\) (tập hợp những điểm nằm trong và nằm trên mặt cầu tương ứng). Biết mặt cầu ( \(S\) ) có phương trình \(x^2+y^2+z^2-2 x-4 y-6 z+5=0\). Khoảng cách xa nhất giữa hai điểm thuộc vùng phủ sóng là bao nhiêu kilômét?

Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \((S): x^2 + y^2 +z^2-6x+4y-2z + 5 = 0\). Phương trình mặt phẳng \((P)\) chứa trục \(Ox\) và cắt \((S)\) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng 2.

Trong không gian \(Oxyz\) (đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét), một trạm thu phát sóng điện thoại di động được đặt ở vị trí \(I\left( 1;3;7 \right)\). Trạm thu phát sóng đó được thiết kế với bán kính phủ sóng là \(3\text{ }\!\!~\!\!\text{ km}\).

Trong mỗi ý a), b), c). d) ở mỗi câu, học sinh chọn đúng hoặc sai.

Cho mặt cầu \((S)\):\({{(x-3)}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}+{{(z+2)}^{2}}=9\)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tâm \(I(-2;1;5)\), bán kính bằng 3. Cho các điểm \(A(10;1;2)\), \(B(0;1;4)\), \(C(0;3;4)\).

Trong không gian \(Oxyz\) (đơn vị trên mỗi trục tính theo mét), một ngọn hải đăng được đặt ở vị trí \(I\left( 17;20;45 \right)\). Biết rằng ngọn hải đăng đó được thiết kế với bán kính phủ sáng là \(4km\).

Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S): \(x^2 + y^2 + z^2-4x+2z+4= 0\) có tâm và bán kính lần lượt là: