Hệ thống định vị toàn cầu \(GPS\) là một hệ thống cho phép xác định vị trí của một vật thể trong không gian. Trong cùng một thời điểm, vị trí của một điểm \(M\) trong không gian sẽ được xác định bởi bốn vệ tinh cho trước nhờ các bộ thu phát tín hiệu đặt trên các vệ tinh. Giả sử trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), có bốn vệ tinh lần lượt đặt tại các điểm \(\text{A}\left( 3;1;0 \right)\), \(\text{B}\left( 3;6;6 \right)\), \(\text{C}\left( 4;6;2 \right)\), \(\text{D}\left( 6;2;14 \right)\); vị trí \(\text{M}\left( \text{a};\text{b};\text{c} \right)\) thỏa mãn \(\text{MA}=3\), \(\text{MB}=6\), \(\text{MC}=5\), \(\text{MD}=13\). Khoảng cách từ điểm \(M\) đến điểm \(O\) bằng bao nhiêu?

Trong không gian \({Oxyz}\), cho mặt cầu \({(S)}\) có tâm là điểm \({I(a; b; c)}\) và bán kính \({R}\). Phương trình của \({(S)}\) là:

Trong không gian \(Oxyz\) cho hình hộp chữ nhật \(OABC.{O}'{A}'{B}'{C}'\) với \(O\) là gốc tọa độ, \(A\left( 2;0;0 \right)\); \(C\left( 0;3;0 \right)\); \({O}'\left( 0;0;4 \right)\). Ta có

Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \((S):{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=4\). Tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu (S) lần lượt là:

Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z+3 \right)}^{2}}=25\). Xác định toạ độ tâm \(I\) và bán kính \(R\) của mặt cầu \(\left( S \right)\).

Khi đặt hệ toạ độ \({Oxyz}\) vào không gian với đơn vị trên trục tính theo kilômét, người ta thấy rằng một không gian phủ sóng điện thoại có dạng một hình cầu \({(S)}\) (tập hợp những điểm nằm trong và nằm trên mặt cầu tương ứng). Biết mặt cầu \({(S)}\) có phương trình \({x^2+y^2+z^2-2x-4y-6z+5=0}\). Khoảng cách xa nhất giữa hai điểm thuộc vùng phủ sóng là bao nhiêu kilômét?

Trong không gian \(Oxyz\), phương trình mặt cầu tâm \(I\left( 5;\,-6;\,7 \right)\) bán kính \(4\) là:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tâm \(I(-2;1;5)\), bán kính bằng 3. Cho các điểm \(A(10;1;2)\), \(B(0;1;4)\), \(C(0;3;4)\).

Trong không gian với hệ trục tọạ độ \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{{(x-1)}^{2}}+{{(y+1)}^{2}}+{{(z-2)}^{2}}=9\) và điểm \(M\left( 1;3;-1 \right)\), biết rằng các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ \(M\) tới các mặt cầu đã cho luôn thuộc một đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(J\left( a;b;c \right)\). Giá trị \(T=2a+b+c\) bằng bao nhiêu?

Hải đăng là một ngọn tháp được thiết kế để chiếu sáng từ một hệ thống đèn và thấu kính hoặc thời xưa là chiếu sáng bằng lửa, với mục đích hỗ trợ cho các hoa tiêu trên biển định hướng và tìm đường. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục là một mét), coi một phần mặt biển được khảo sát là mặt phẳng (Oxy), trục Oz hướng lên trên vuông góc với mặt biển; một ngọn hải đăng đỉnh cao 50 mét so với mực nước biển (Hình dưới) biết đỉnh ở vị trí \(I(21;35;50)\). Biết rằng ngọn hải đăng này được thiết kế với bán kính phủ sáng là \(4\) km.

Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{{(x-2)}^{2}}+{{(y+1)}^{2}}+{{(z-3)}^{2}}=4\).

Tâm của \(\left( S \right)\) có tọa độ là:

Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Trong không gian \(\text{Ox}yz\), cho hai điểm \(A\left( -1;2;3 \right),\) \(B\left( 1;0;3 \right)\) và mặt phẳng \((P):\,x+y+z+1=0.\)

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu có phương trình \((x+3)^2+(y-1)^2+(z+2)^2 = 9\). Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu đó.

Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu có tâm \(I(0;1;3)\) và tiếp xúc với mặt phẳng \((P): x + 2y - z + 3 = 0\).

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(A\left( -2;4;0 \right)\), \(B\left( 0;2;-6 \right)\). Phương trình mặt cầu đường kính AB là:

Phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm \(A\left( 1;\,-2;2 \right)\) và bán kính \(R=8\)?

Trong không gian \(Oxyz\), mặt phẳng đi qua tâm của mặt cầu \({{(x-1)}^{2}}+{{(y+2)}^{2}}+{{z}^{2}}=12\) và song song với mặt phẳng \(\left( Oxz \right)\) có phương trình là:

Phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm \(A\left( 2;\,1;\,0 \right)\), đi qua điểm \(B\left( 0;\,1;\,2 \right)\)?

Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right)\) có đường kính \(AB\) với tọa độ các điểm \(A\left( 1\,;\,2\,;\,-4 \right)\), \(B\left( 3\,;\,-2\,;\,0 \right)\) và mặt cầu \(\left( {{S}'} \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x+4y-6z+5=0\).

Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S): \(x^2 + y^2 + z^2-4x+2z+4= 0\) có tâm và bán kính lần lượt là:

Trong không gian \(Oxyz\) (đơn vị trên mỗi trục tính theo mét), một ngọn hải đăng được đặt ở vị trí \(I\left( 17;20;45 \right)\). Biết rằng ngọn hải đăng đó được thiết kế với bán kính phủ sáng là \(4km\).