Hệ thống định vị toàn cầu GPS là một hệ thống cho phép xác định vị trí của một vật thể trong không gian. trong cùng một thời điểm, vị trí của một điểm M trong không gian sẽ được xác định bởi bốn vệ tinh cho trước nhờ các bộ thu phát tín hiệu đặt trên các vệ tinh. Giả sử trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, có bốn vệ tinh lần lượt đặt tại các điểm A(3;1;0), B(3;6;6), C(4;6;2), D(6;2;14); vị trí M(a;b;c) thỏa mãn MA = 3, MB = 6, MC = 5, MD = 13.

Khoảng cách từ điểm M đến điểm O bằng bao nhiêu?

Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):{{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z+3 \right)}^{2}}=25\). Xác định toạ độ tâm \(I\) và bán kính \(R\) của mặt cầu \(\left( S \right)\).

Khi đặt hệ toạ độ \(O x y z\) vào không gian với đơn vị trên trục tính theo kilômét, người ta thấy rằng một không gian phủ sóng điện thoại có dạng một hình cầu \((S)\) (tập hợp những điểm nằm trong và nằm trên mặt cầu tương ứng). Biết mặt cầu ( \(S\) ) có phương trình \(x^2+y^2+z^2-2 x-4 y-6 z+5=0\). Khoảng cách xa nhất giữa hai điểm thuộc vùng phủ sóng là bao nhiêu kilômét?

Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Trong không gian \(\text{Ox}yz\), cho hai điểm \(A\left( -1;2;3 \right),\) \(B\left( 1;0;3 \right)\) và mặt phẳng \((P):\,x+y+z+1=0.\)

Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu

\(\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-8x+2y+1=0\).

Tọa độ tâm và bán kính mặt cầu \(\left( S \right)\) lần lượt là:

Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), mặt cầu tâm \(I\left( 3;\,-1;\,0 \right)\), bán kính \(R=5\) có phương trình là:

Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S): \(x^2 + y^2 + z^2-4x+2z+4= 0\) có tâm và bán kính lần lượt là:

Trong khối pha lê hình lập phương \(ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'\) cạnh 8 cm có mặt cầu cách đều các mặt của hình lập phương \(ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'\) một khoảng 1 cm. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho đỉnh A trùng với gốc tọa độ O, đỉnh B thuộc tia Ox, đỉnh D thuộc tia Oy, đỉnh \({A}'\) thuộc tia Oz. Khi đó, phương trình của mặt cầu bên trong khối pha lê hình lập phương là \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+2ax+2by+2cz+d=0\). Tìm giá trị của \(a+b+c+d\).

Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu có tâm \(I(0;1;3)\) và tiếp xúc với mặt phẳng \((P): x + 2y - z + 3 = 0\).

Khi đặt hệ toạ độ \({Oxyz}\) vào không gian với đơn vị trên trục tính theo kilômét, người ta thấy rằng một không gian phủ sóng điện thoại có dạng một hình cầu \({(S)}\) (tập hợp những điểm nằm trong và nằm trên mặt cầu tương ứng). Biết mặt cầu \({(S)}\) có phương trình \({x^2+y^2+z^2-2x-4y-6z+5=0}\). Khoảng cách xa nhất giữa hai điểm thuộc vùng phủ sóng là bao nhiêu kilômét?

Hệ thống định vị toàn cầu \(GPS\) là một hệ thống cho phép xác định vị trí của một vật thể trong không gian. Trong cùng một thời điểm, vị trí của một điểm \(M\) trong không gian sẽ được xác định bởi bốn vệ tinh cho trước nhờ các bộ thu phát tín hiệu đặt trên các vệ tinh. Giả sử trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), có bốn vệ tinh lần lượt đặt tại các điểm \(\text{A}\left( 3;1;0 \right)\), \(\text{B}\left( 3;6;6 \right)\), \(\text{C}\left( 4;6;2 \right)\), \(\text{D}\left( 6;2;14 \right)\); vị trí \(\text{M}\left( \text{a};\text{b};\text{c} \right)\) thỏa mãn \(\text{MA}=3\), \(\text{MB}=6\), \(\text{MC}=5\), \(\text{MD}=13\). Khoảng cách từ điểm \(M\) đến điểm \(O\) bằng bao nhiêu?

Trong không gian Oxyz, xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu có phương trình \((x-3)^2+(y+1)^2+(z−2)^2 = 4\).

Hải đăng là một ngọn tháp được thiết kế để chiếu sáng từ một hệ thống đèn và thấu kính hoặc thời xưa là chiếu sáng bằng lửa, với mục đích hỗ trợ cho các hoa tiêu trên biển định hướng và tìm đường. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục là một mét), coi một phần mặt biển được khảo sát là mặt phẳng (Oxy), trục Oz hướng lên trên vuông góc với mặt biển; một ngọn hải đăng đỉnh cao 50 mét so với mực nước biển (Hình dưới) biết đỉnh ở vị trí \(I(21;35;50)\). Biết rằng ngọn hải đăng này được thiết kế với bán kính phủ sáng là \(4\) km.

Trong không gian \(Oxyz\) cho hình hộp chữ nhật \(OABC.{O}'{A}'{B}'{C}'\) với \(O\) là gốc tọa độ, \(A\left( 2;0;0 \right)\); \(C\left( 0;3;0 \right)\); \({O}'\left( 0;0;4 \right)\). Ta có

Một quả bóng rổ được đặt ở một góc của căn phòng hình hộp chữ nhật, sao cho quả bóng chạm và tiếp xúc với hai bức tường và nền nhà của căn phòng đó thì có một điểm trên quả bóng có khoảng cách lần lượt đến hai bức tường và nền nhà là 17 cm, 18 cm, 21 cm (tham khảo hình minh họa). Hỏi độ dài đường kính của quả bóng bằng bao nhiêu cm, biết rằng quả bóng rổ tiêu chuẩn có đường kính từ 23 cm đến 24,5 cm? (Kết quả là tròn đến một chữ số thập phân)

Trong không gian \(Oxyz\) (đơn vị trên mỗi trục tính theo mét), một ngọn hải đăng được đặt ở vị trí \(I\left( 17;20;45 \right)\). Biết rằng ngọn hải đăng đó được thiết kế với bán kính phủ sáng là \(4km\).

Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( 2;1;1 \right)\) và \(B\left( 0;3;-1 \right)\). Mặt cầu \(\left( S \right)\) đường kính \(AB\) có phương trình là:

Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left( S \right):\,{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=16\). Tâm của \(\left( S \right)\) có tọa độ là:

Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt cầu

(S): \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-6x+4y-2z+5=0\).

Phương trình mặt phẳng \(\left( Q \right)\) chứa trục \(Ox\) và cắt \(\left( S \right)\) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng 2.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tâm \(I(-2;1;5)\), bán kính bằng 3. Cho các điểm \(A(10;1;2)\), \(B(0;1;4)\), \(C(0;3;4)\).

Phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu \(\left( S \right)\) tâm \(A\left( 1;\,-2;2 \right)\) và bán kính \(R=8\)?