Một gia đình thiết kế chiếc cổng có dạng là một parabol \(\left( P \right)\) có kích thước như hình vẽ, biết chiều cao cổng bằng chiều rộng của cổng và bằng \(4\,m\,\). Người ta thiết kế cửa đi là một hình chữ nhật \(CDEF\,\)sao cho chiều cao cửa đi là \(CD=2m\), phần còn lại dùng để trang trí. Biết chi phí phần tô đậm là 1,5 triệu đồng/\({{m}^{2}}\). Tính số tiền (triệu đồng) gia đình đó phải trả để trang trí phần tô đậm.

(Làm tròn kết quả đến hàng phần mười)

Một đội thi công cầu đường A vừa đấu thầu được dự án xây cầu ở huyện B bắc ngang qua con sông C.

Để hoạch định được số tiền cần chi để đổ bê tông thô đúc cầu, người ta đưa ra bản thiết kế mặt cắt song song của cầu là hình bên dưới (phần tô đậm là phần đổ bê tông, và các đơn vị đều đo bằng mét).

Trong đó phần giới hạn phía dưới là một đồ thị hàm bậc 2 và phần mỏng nhất của cầu là 1 m.

Biết chiều rộng của cầu bằng 9 m. Số tiền (có VAT) ít nhất để đổ bê tông thô đúc cầu là bao nhiêu. Biết mỗi \(1{{m}^{3}}\) bê tông có giá 1.320.000 (Chưa tính VAT 8%). Đơn vị: tỉ đồng, làm tròn đến chữ số thập phân thứ 2).

Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đường cong \(y={{\text{e}}^{x}}\), trục hoành và các đường thẳng \(x=0\), \(x=1\). Khối tròn xoay tạo thành khi quay (H) quanh trục Ox có thể tích \(V\) bằng bao nhiêu?

Cho khối lăng trụ có diện tích đáy bằng \(5{{\text{a}}^{2}}\) và chiều cao bằng \(6\text{a}\). Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng:

Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ a;b \right]\). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=f\left( x \right)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x=a,\,\,x=b\) được tính theo công thức:

Một cái trứng khủng long đồ chơi là một khối tròn xoay được tạo thành từ 2 mảnh ghép lại. Biết mảnh trên được tạo thành khi xoay một phần tư đường elip với trục lớn là 8cm và trục nhỏ là 4cm quanh trục \(Ox\) và mảnh dưới được tạo thành khi xoay một phần tư đường tròn bán kính bằng 2cm quanh trục \(Ox\) như hình sau (bỏ qua độ dày của vỏ trứng).

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai?

Cho hàm số \(y = f(x)\) liên tục, nhận giá trị dương trên đoạn [a; b]. Xét hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f (x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b. Khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng (H) quanh trục Ox có thể tích là:

Một vật trang trí có dạng khối tròn xoay tạo thành khi quay miền \((R)\) (phần gạch chéo trong hình vẽ) quay xung quanh trục \(AB\). Biết \(ABCD\) là hình chữ nhật cạnh \(AB=3cm\),\(AD=2cm\); \(F\) là trung điểm của \(BC\); điểm \(E\) cách \(AD\) một đoạn bằng \(1cm\). \(ED\) là cung tròn của đường tròn đường kính \(AD\).

Cho vật thể có hình dạng như hình bên dưới. Nếu cắt vật thể bằng mặt phẳng song song với mặt đáy và cách mặt một khoảng \({x}\) (m) \({(0 \leq x \leq 3)}\) thì được hình vuông có cạnh \({\sqrt{9-x^2}}\) (m). Thể tích của vật thể bằng bao nhiêu theo đơn vị \({{m}^{2}}\)?

Cho chiếc trống như hình vẽ, có đường sinh là nửa elip được cắt bởi trục lớn với độ dài trục lớn bằng 80 cm, độ dài trục bé bằng 60 cm và đáy trống là hình tròn có bán kính bằng 60 cm. Thể tích \(V\) của chiếc trống là \(x(d{{m}^{3}})\). Tìm \(x\) (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Một người điều khiển ô tô đang ở đường dẫn muốn nhập làn vào đường cao tốc. Khi ô tô cách điểm nhập làn 215 m, tốc độ của ô tô là 54 km/h. 1 giây sau đó, ô tô bắt đầu tăng tốc với tốc độ \(v\left( t \right)=at+b\) (\(a,b\in \mathbb{R},\) \(a>0\)), trong đó \(t\) là thời gian tính bằng giây kể từ khi bắt đầu tăng tốc. Biết rằng ô tô nhập làn cao tốc sau 13 giây và duy trì sự tăng tốc trong 17 giây kể từ khi bắt đầu tăng tốc. Xét tính đúng sai của các phát biểu sau?

Cho hai hàm số \(y=f\left( x \right)\) và \(y=g\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ a;b \right]\). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số \(y=f\left( x \right)\), \(y=g\left( x \right)\) và hai đường thẳng \(x~=~a\), \(x~=~b\) là:

Một người có miếng tôn hình tròn có bán kính bằng \(5(m)\). Người này tính trang trí sơn vẽ trên tấm tôn đó, biết mỗi mét vuông sơn hết 100 nghìn đồng. Tuy nhiên cần có một khoảng trống để treo tấm tôn nên người này bớt lại một phần tấm tôn nhỏ không trang trí (phần màu trắngnhư hình vẽ), trong đó \(AB=6(m)\). Hỏi khi trang trí xong người này hết bao nhiêu tiền chi phí (đơn vị nghìn đồng)?

Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) liên tục, nhận giá trị dương trên coạn \(\left[ a;b \right]\). Xét hình phẳng \(\left( H \right)\) giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=f\left( x \right)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x=a,x=b\). Khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng \(\left( H \right)\) quanh trục \(Ox\) có thể tích là:

Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = 2x^2\), \(y = -1\), \(x = 0\), \(x = 1\) được tính bởi công thức nào sau đây?

Một ô tô bắt đầu chuyển động thẳng nhanh dần đều với tốc độ \(v\left( t \right)=5t\ \ (\text{m/s});\)trong đó \(t\) là thời gian tính bằng giây kể từ khi ô tô bắt đầu chuyển động. Đi được 6 (s) người lái xe phát hiện chướng ngại vật và phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần đều với gia tốc \(a=-\,5\ (\text{m/}{{\text{s}}^{2}})\).

Một vật chuyển động trong 6 giờ với vận tốc \(v\left( km/h \right)\) phụ thuộc vào thời gian \(t\left( h \right)\) có đồ thị như hình bên dưới. Trong khoảng thời gian 2 giờ từ khi bắt đầu chuyển động, đồ thị là một phần đường Parabol có đỉnh \(I\left( 3;9 \right)\) và có trục đối xứng song song với trục tung. Khoảng thời gian còn lại, đồ thị vận tốc là một đường thẳng có hệ số góc bằng \(\frac{1}{4}\). Tính quảng đường \(s\) mà vật di chuyển được trong 6 giờ?

Một cái màn chụp có dạng như hình vẽ bên. Biết rằng mặt cắt của cái màn theo mặt phẳng song song với mặt phẳng đáy và cách mặt đáy một khoảng bằng \(x\,\left( m \right)\), \(0\le x\le 2\) là một hình vuông cạnh bằng \(\sqrt{4-{{x}^{2}}}\,\left( m \right)\). Thể tích của cái màn là bao nhiêu mét khối? (Làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Một vật được ném lên từ độ cao 300 m với vận tốc được cho bởi công thức \(v\left( t \right)=-9,81t+29,43\,\left( \text{m/s} \right)\) (Nguồn: R.Larson anh Edwards, Calculus 10e, Cengage). Gọi \(h\left( t \right)\,\left( \text{m} \right)\) là độ cao của vât so với mặt đất tại thời điểm \(t\left( \text{s} \right.)\) (tính từ lúc bắt đầu ném vật).

Thành phố định xây cây cầu bắc ngang con sông dài \(500m\), biết rằng người ta định xây cầu có 10 nhịp cầu hình dạng parabol, biết hai bên đầu cầu và giữa mối nhịp nối người ta xây một chân trụ rộng \(5m,\) khoảng cách giữa 2 chân trụ liên tiếp là \(40m\). Bề dày nhịp cầu không đổi là \(20cm\). Biết một nhịp cầu như hình vẽ. Hỏi lượng bê tông để xây các nhịp cầu là bao nhiêu \({{m}^{3}}\)? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Một kiến trúc sư thiết kế một khu sinh hoạt cộng đồng có dạng hình vuông với mỗi cạnh dài \(120m\). Phần sân chơi nằm ở giữa, và phần còn lại để trồng cây xanh. Các đường biên của khu vực trồng cây xanh là các đoạn parabol, với đỉnh của parabol nằm cách trung điểm của mỗi cạnh hình vuông \(25m\). Tính diện tích phần trồng cây xanh.