Một đội thi công cầu đường A vừa đấu thầu được dự án xây cầu ở huyện B bắc ngang qua con sông C.

Để hoạch định được số tiền cần chi để đổ bê tông thô đúc cầu, người ta đưa ra bản thiết kế mặt cắt song song của cầu là hình bên dưới (phần tô đậm là phần đổ bê tông, và các đơn vị đều đo bằng mét).

Trong đó phần giới hạn phía dưới là một đồ thị hàm bậc 2 và phần mỏng nhất của cầu là 1 m.

 

Biết chiều rộng của cầu bằng 9 m. Số tiền (có VAT) ít nhất để đổ bê tông thô đúc cầu là bao nhiêu. Biết mỗi \(1{{m}^{3}}\) bê tông có giá 1.320.000 (Chưa tính VAT 8%). Đơn vị: tỉ đồng, làm tròn đến chữ số thập phân thứ 2).

Một nhà thiết kế mỹ thuật yêu thích môn Toán muốn trang trí một viên gạch với họa tiết như hình 1. Các đường cong thực chất là các đường parabol và đồ thị hàm bậc ba. Dựng hệ trục tọa độ Oxy như hình 2. Gọi hàm số bậc ba \(y=f\left( x \right)\) và hàm số bậc hai \(y=g\left( x \right)\) có đồ thị như trên hình.

Biết rằng đồ thị hàm số \(y=f\left( x \right)\) cắt đồ thị hàm số \(y=g\left( x \right)\) tại ba điểm phân biệt có hoành độ \({{x}_{1}}\,,\,\,{{x}_{2}}\,,\,\,{{x}_{3}}\) thoả mãn \({{x}_{1}}{{x}_{2}}{{x}_{3}}=-5\). Diện tích miền tô đậm bằng bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Hình vẽ bên mô tả hiệu suất làm việc của hai công nhân trong một nhà máy trong thời gian 6 giờ. Công nhân \(A\) đang sản xuất với hiệu suất \(Q_{1}^{'}\left( t \right)=-2{{t}^{2}}+4t+58\) sản phẩm mỗi giờ, trong khi công nhân \(B\) đang sản xuất với hiệu suất \(Q_{2}^{'}\left( t \right)=53+at\) sản phẩm mỗi giờ \(\left( a\in \mathbb{R} \right)\). Biết rằng hàm \({{Q}_{1}}\left( t \right)\) và \({{Q}_{2}}\left( t \right)\) mô phỏng số lượng sản phẩm mới làm được của công nhân \(A\) và công nhân \(B\) sau \(t\) giờ.

Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đường cong \(y={{\text{e}}^{x}}\), trục hoành và các đường thẳng \(x=0\), \(x=1\). Khối tròn xoay tạo thành khi quay (H) quanh trục Ox có thể tích \(V\) bằng bao nhiêu?

Ông Duy có một mảnh vườn hình vuông cạnh bằng 8 m. Ông dự định xây một cái bể bơi đặc biệt (phần kẻ sọc trong hình vẽ bên). Biết \(AM=\frac{AB}{4}\), phần đường cong đi qua các điểm \(C,M,N\) là một phần của đường Parabol có trục đối xứng là \(MP\left( MP//AD \right)\) và chi phí để làm bể bơi là 5 triệu đồng \(/{{\text{m}}^{2}}\). Số tiền ông Duy phải trả để xây cái bể bơi đó là bao nhiêu triệu đồng? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Gọi \(D\) là hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y={{x}^{3}}\), \(y=0\), \(x=0\) và \(x=1\). Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay \(D\) quanh trục \(Ox\) bằng:

Cho khối lăng trụ có diện tích đáy bằng \(5{{\text{a}}^{2}}\) và chiều cao bằng \(6\text{a}\). Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = x^3 - 4x\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0, x = 3\) bằng:

Cho hình phẳng được tô màu trong hình bên dưới.

Cho hình phẳng (H) được tô màu trong hình bên dưới.

Một cái màn chụp có dạng như hình vẽ bên. Biết rằng mặt cắt của cái màn theo mặt phẳng song song với mặt phẳng đáy và cách mặt đáy một khoảng bằng \(x\,\left( m \right)\), \(0\le x\le 2\) là một hình vuông cạnh bằng \(\sqrt{4-{{x}^{2}}}\,\left( m \right)\). Thể tích của cái màn là bao nhiêu mét khối? (Làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Cho hình phắng \((H)\) giới hạn bởi đố thị \(y=2 x-x^2\), trục hoành, \(\mathrm{x}=0 ; \mathrm{x}=2\). Tính thế tích \(V\) của khối tròn xoay sinh ra khi cho \((H)\) quay quanh trục .

Cho hai hàm số \(y=f\left( x \right)\) và \(y=g\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ a;b \right]\). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số \(y=f\left( x \right)\), \(y=g\left( x \right)\) và hai đường thẳng \(x~=~a\), \(x~=~b\) là:

Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ a;b \right]\). Diện tích \(S\) của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=f\left( x \right)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x~=~a\), \(x~=~b\) là

Kiến trúc sư thiết kế một khu sinh hoạt cộng đồng có dạng hình chữ nhật với chiều rộng và chiều dài lần lượt là 60 m và 80 m. Trong đó, phần được tô màu đậm là sân chơi, phần còn lại để trồng hoa. Mỗi phần trồng hoa có đường biên cong là một phần của parabol với đỉnh thuộc một trục đối xứng của hình chữ nhật và khoảng cách từ đỉnh đó đến trung điểm cạnh tương ứng của hình chữ nhật bẳng 20 m (xem hình minh họa). Diện tích của phần sân chơi là bao nhiêu mét vuông?

Cho hai hàm số \(f(x)\) và \(g(x)\) liên tục trên \(\left[ a\,;\,b \right]\). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số \(y=f(x)\), \(y=g(x)\) và các đường thẳng \(x=a\), \(x=b\) bằng:

Diện tích \(S\) của hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y=3 x^2, y=0, x=0\) và \(x=1\) được tính bởi công thức nào sau đây?

Một chiếc máy bay chuyển động trên đường băng với vận tốc \(v\left( t \right)={{t}^{2}}+10t\) \(\left( m/s \right)\) với \(t\) là thời gian được tính theo đơn vị giây kể từ khi máy bay bắt đầu chuyển động. Biết khi máy bay đạt vận tốc \(200\,\left( m/s \right)\) thì rời đường băng. Tính quãng đường máy bay đã di chuyển trên đường băng (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Bên trong hình vuông cạnh 4, dựng hình sao bốn cánh đều như hình vẽ bên (các kích thước cần thiết cho như ở trong hình bên). Tính thể tích \(V\) của khối tròn xoay sinh ra khi quay hình sao đó quanh trục \(Ox\) (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Anh Minh có một mảnh vườn hình chữ nhật có chiều dài 10m, chiều rộng 6m. Anh Minh muốn đổ bê tông dày 15cm một đường đi trong vườn (phần được tô màu). Xét hệ trục tọa độ như hình vẽ. Biết rằng đường cong AB được cho bởi đồ thị của một hàm số liên tục và đường cong DC nhận được từ đường cong AB bằng cách tịnh tiến theo phương thẳng đứng lên phía trên 2 m. Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?

Gọi \(S\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = \ln x; y = 0; x = 1; x = e\). Mệnh đề nào sau đây đúng?