Một cái trứng khủng long đồ chơi là một khối tròn xoay được tạo thành từ 2 mảnh ghép lại. Biết mảnh trên được tạo thành khi xoay một phần tư đường elip với trục lớn là 8cm và trục nhỏ là 4cm quanh trục \(Ox\) và mảnh dưới được tạo thành khi xoay một phần tư đường tròn bán kính bằng 2cm quanh trục \(Ox\) như hình sau (bỏ qua độ dày của vỏ trứng).

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai?

Cho hình phẳng \(\left( H \right)\) giới hạn bởi các đồ thị hàm số \(f\left( x \right)={{x}^{2}}-2x-1\) và \(g\left( x \right)=2x-4\).

Xét hàm số \(Q\left( x \right)=\frac{{{x}^{3}}}{3}-2{{x}^{2}}+3x\).

Cho một viên gạch men có dạng hình vuông \(OABC\) như hình vẽ. Sau khi tọa độ hóa, ta có \(O\left( 0\,;\,0 \right)\), \(A\left( 0\,;\,1 \right)\), \(B\left( 1\,;\,1 \right)\), \(C\left( 1\,;\,0 \right)\) và hai đường cong lần lượt là đồ thị hàm số \(y={{x}^{3}}\) và \(y=\sqrt[3]{x}\).

Cho hai hàm số \(y=f\left( x \right)\) và \(y=g\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ a;b \right]\). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số \(y=f\left( x \right)\), \(y=g\left( x \right)\) và hai đường thẳng \(x~=~a\), \(x~=~b\) là:

Cho hình phắng \((H)\) giới hạn bởi đố thị \(y=2 x-x^2\), trục hoành, \(\mathrm{x}=0 ; \mathrm{x}=2\). Tính thế tích \(V\) của khối tròn xoay sinh ra khi cho \((H)\) quay quanh trục .

Diện tích hình phẳng được gạch chéo trong hình bên bằng

Một kiến trúc sư thiết kế một khu sinh hoạt cộng đồng có dạng hình vuông với mỗi cạnh dài 120 m. Phần sân chơi nằm ở giữa, và phần còn lại để trồng cây xanh. Các đường biên của khu vực trồng cây xanh là các đoạn parabol, với đỉnh của parabol nằm cách trung điểm của mỗi cạnh hình vuông 25 m. Tính diện tích phần trồng cây xanh.

Một vật trang trí có dạng khối tròn xoay tạo thành khi quay miền \((R)\) (phần gạch chéo trong hình vẽ) quay xung quanh trục \(AB\). Biết \(ABCD\) là hình chữ nhật cạnh \(AB=3cm\),\(AD=2cm\); \(F\) là trung điểm của \(BC\); điểm \(E\) cách \(AD\) một đoạn bằng \(1cm\). \(ED\) là cung tròn của đường tròn đường kính \(AD\).

Cho một vật thể bằng gỗ có dạng hình trụ với chiều cao và bán kính đáy cùng bằng \(1\). Cắt khối gỗ đó bởi một mặt phẳng đi qua đường kính của một mặt đáy của khối gỗ và tạo với mặt phẳng đáy của khối gỗ một góc \(30{}^\circ \) ta thu được khối gỗ hình nêm \(\left( H \right)\) và đặt khối \(\left( H \right)\) vào hệ trục tọa độ như hình vẽ.

Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ a;b \right]\). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=f\left( x \right)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x=a,\,\,x=b\) được tính theo công thức:

Gọi \(D\) là hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y={{e}^{x}},y=0,x=0\) và \(x=1\). Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay \(D\) quanh trục \(Ox\) bằng:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường \(y={{x}^{2}}-1\) và \(y=x-1\) bằng:

Một người điều khiển ô tô đang ở đường dẫn muốn nhập làn vào đường cao tốc. Khi ô tô cách điểm nhập làn 215 m, tốc độ của ô tô là 54 km/h. 1 giây sau đó, ô tô bắt đầu tăng tốc với tốc độ \(v\left( t \right)=at+b\) (\(a,b\in \mathbb{R},\) \(a>0\)), trong đó \(t\) là thời gian tính bằng giây kể từ khi bắt đầu tăng tốc. Biết rằng ô tô nhập làn cao tốc sau 13 giây và duy trì sự tăng tốc trong 17 giây kể từ khi bắt đầu tăng tốc. Xét tính đúng sai của các phát biểu sau?

Một nhà thiết kế mỹ thuật yêu thích môn Toán muốn trang trí một viên gạch với họa tiết như hình 1. Các đường cong thực chất là các đường parabol và đồ thị hàm bậc ba. Dựng hệ trục tọa độ Oxy như hình 2. Gọi hàm số bậc ba \(y=f\left( x \right)\) và hàm số bậc hai \(y=g\left( x \right)\) có đồ thị như trên hình.

Biết rằng đồ thị hàm số \(y=f\left( x \right)\) cắt đồ thị hàm số \(y=g\left( x \right)\) tại ba điểm phân biệt có hoành độ \({{x}_{1}}\,,\,\,{{x}_{2}}\,,\,\,{{x}_{3}}\) thoả mãn \({{x}_{1}}{{x}_{2}}{{x}_{3}}=-5\). Diện tích miền tô đậm bằng bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Sân trường có một bồn hoa hình tròn tâm \(O\). Một nhóm học sinh lớp 12 được giao thiết kế bồn hoa, nhóm này định chia bồn hoa thành bốn phần bởi hai đường parabol có cùng đỉnh \(O\) và đối xứng nhau qua \(O\). Hai đường parabol này cắt đường tròn tại bốn điểm \(A,B,C,D\) tạo thành một hình vuông có cạnh bằng 4 m (như hình vẽ). Phần diện tích \({{S}_{1}},{{S}_{2}}\) dùng để trồng hoa, phần diện tích \({{S}_{3}},{{S}_{4}}\) dùng để trồng cỏ (Diện tích làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai). Biết kinh phí trồng hoa là 150.000 đồng \(/{{\text{m}}^{2}}\), kinh phí để trồng cỏ là 100.000 đồng \(/{{\text{m}}^{2}}\). Hỏi nhà trường cần bao nhiêu tiền để trồng bồn hoa đó? (Đơn vị tính nghìn đồng) chục nghìn).

Cho hình phẳng được tô màu trong hình bên dưới.

Cho hình phẳng \(\left( H \right)\) giới hạn bởi các đường \(y={{x}^{2}}+3\), \(y=0\), \(x=0\), \(x=2\). Gọi \(V\) là thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay \(\left( H \right)\) xung quanh trục \(Ox\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Gọi \(S\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y={{\text{e}}^{x}}\), \(y=0\), \(x=0\), \(x=2\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Cho hàm số \(y = f(x)\) liên tục, nhận giá trị dương trên đoạn [a; b]. Xét hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f (x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b. Khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng (H) quanh trục Ox có thể tích là:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = x^3 - 4x\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0, x = 3\) bằng:

Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đường cong \(y={{\text{e}}^{x}}\), trục hoành và các đường thẳng \(x=0\), \(x=1\). Khối tròn xoay tạo thành khi quay (H) quanh trục Ox có thể tích \(V\) bằng bao nhiêu?