Chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng a2. Thể tích của khối chóp đó bằng?

Chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng $a \sqrt{2}$ . Thể tích của khối chóp đó bằng?

$\frac{a^{3} \sqrt{5}}{4}$

$\frac{a^{3} \sqrt{5}}{12}$

$\frac{a^{3} \sqrt{7}}{4}$

$\frac{a^{3} \sqrt{7}}{12}$

Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án

Lời giải

Hạ đường cao SH xuống cạnh BC.

Nối A với H. Hạ đường cao SK xuống AH.

Ta có $S H ⊥ B C (1) .$

Do SBC là tam giác cân tại S nên SH vừa là đường cao vừa là trung tuyến.

ABC đều nên AH là đường cao.

Do đó $A H ⊥ B C (2) .$

Từ $(1), (2)$ suy ra $B C ⊥ (A H S) \Rightarrow B C ⊥ S K .$

Mặt khác $S K ⊥ A H,$ nên $S K ⊥ (A B C) .$

Do đó SK là đường cao của chóp.

Do H là trung điểm nên $H C = \frac{a}{2} .$

Áp dụng định lý Py-ta-go trong tam giác SHC.

Ta có $S H = \sqrt{S C^{2} - H C^{2}} = \sqrt{{(a \sqrt{2})}^{2} - {(\frac{a}{2})}^{2}} = \frac{a \sqrt{7}}{2} .$

Tương tự ta có $A H = \frac{a \sqrt{3}}{2} .$

Tương tự các bài trước và từ định lý Py-ta-go cho tam giác vuông AKS, SKH ta có

$S K^{2} = S H^{2} - K H^{2} = S A^{2} - A K^{2} = S A^{2} - {(A H - K H)}^{2} \Rightarrow K H = \frac{a}{2 \sqrt{3}} .$

Do đó \ $S K = \sqrt{S H^{2} - K H^{2}} = \sqrt{{(\frac{a \sqrt{7}}{2})}^{2} - {(\frac{a}{2 \sqrt{3}})}^{2}} = \sqrt{\frac{5}{3}} a .$

Từ đó $V = \frac{1}{3} S K . S_{A B C} = \frac{1}{3} . (\sqrt{\frac{5}{3}} a) . (\frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}) = \frac{a^{3} \sqrt{5}}{12} .$

Chọn đáp án B.

Chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng $a \sqrt{2}$ . Thể tích của khối chóp đó bằng?