Câu hỏi:

Ta có: \(f(1)=1+m\).

+) \(\lim _{x \rightarrow 1^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 1^{+}} \frac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}=\lim _{x \rightarrow 1^{+}} \frac{x-1}{(x-1)(\sqrt{x+3}+2)}\)

\(=\lim _{x \rightarrow 1^{+}} \frac{1}{(\sqrt{x+3}+2)}=\frac{1}{4}\).

+) \(\lim _{x \rightarrow 1^{-}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 1^{-}}\left(x^{2}+m x\right)=1+m\).

Hàm số đã cho liên tục tại \(x=1\) khi và chỉ khi \(\lim _{x \rightarrow 1^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 1^{-}} f(x)=f(1) \Leftrightarrow 1+m=\frac{1}{4} \Leftrightarrow m=-\frac{3}{4}\).

Kẻ \(O H \perp S M\), suy ra \(d(O, S M)=O H\).

Ta có \(S O=\sqrt{S C^{2}-O C^{2}}=\sqrt{a^{2}-\left(\frac{a \sqrt{2}}{2}\right)^{2}}=\frac{a \sqrt{2}}{2}\).

Trong \(\triangle S O M\) vuông tại \(O\), ta có:

\(\frac{1}{O H^{2}}=\frac{1}{O M^{2}}+\frac{1}{O S^{2}}=\frac{1}{\left(\frac{a}{2}\right)^{2}}+\frac{1}{\left(\frac{a \sqrt{2}}{2}\right)^{2}}=\frac{6}{a^{2}} \Rightarrow O H=\frac{a}{\sqrt{6}} \Rightarrow d(O, S M)=O H=\frac{a}{\sqrt{6}}\)

Khi \(m=2\), ta có phương trình \((*)\) trở thành \(f(x)=x^{3}-2 x^{2}-4 x+8\)

Ta có \(f^{\prime}(x)=3 x^{2}-4 x-4=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=2 \\ x=-\frac{2}{3}\end{array}\right.\)

Ta xét \(\left\{\begin{array}{l}f(-1)=9 \\ f\left(-\frac{2}{3}\right)=\frac{256}{27} \\ f(2)=0 \\ f(3)=5\end{array}\right.\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \([-1 ; 3]\) là \(f(2)=0\).

Ta có phương trình tương giao đồ thị

\(8=x^{3}-m x^{2}-m^{2} x+8 \Leftrightarrow x^{3}-m x^{2}-m^{2} x=0 \Leftrightarrow x\left(x^{2}-m x-m^{2}\right)=0\)

Khi đó đường thẳng \(y=8\) cắt đồ thị hàm số \(y=f(x)\) tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi \(x^{2}-m x-m^{2}=0\) có hai nghiệm phân biệt khác 0.

Ta có \(\left\{\begin{array}{l}\Delta=(-m)^{2}-4 \cdot 1 \cdot\left(-m^{2}\right)>0 \\ 0^{2}-m \cdot 0-m^{2} \neq 0\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}5 m^{2}>0 \\ -m^{2} \neq 0\end{array} \Rightarrow m \neq 0\right.\right.\)

Ta có: \(y^{\prime}=3 x^{2}-2 m x-m^{2}, y^{\prime}=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=m \\ x=-\frac{m}{3}\end{array}\right.\).

Để hàm số có hai điểm cực trị thì \(y^{\prime}=0\) có hai nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow m \neq 0\).

Trường hợp 1: \(m>0 \Rightarrow y_{c t}=y(m)=-m^{3}+8>0 \Leftrightarrow m<2\).

Vậy \(0<m<2 \Rightarrow\) có 1 giá trị nguyên \(m=1\).

Trường hợp 2: \(m<0 \Rightarrow y_{c t}=y\left(-\frac{m}{3}\right)=\frac{5}{27} m^{3}+8>0 \Leftrightarrow m>-\frac{6}{\sqrt[3]{5}}\).

Vậy \(-\frac{6}{\sqrt[3]{5}}<m<0 \Rightarrow\) có 3 giá trị nguyên của \(m\) là \(\{-3 ;-2 ;-1\}\).

Vậy tổng số có 4 giá trị nguyên của \(m\).