Câu hỏi:

Khi \(m=2\), ta có phương trình \((*)\) trở thành \(f(x)=x^{3}-2 x^{2}-4 x+8\)

Ta có \(f^{\prime}(x)=3 x^{2}-4 x-4=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=2 \\ x=-\frac{2}{3}\end{array}\right.\)

Ta xét \(\left\{\begin{array}{l}f(-1)=9 \\ f\left(-\frac{2}{3}\right)=\frac{256}{27} \\ f(2)=0 \\ f(3)=5\end{array}\right.\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \([-1 ; 3]\) là \(f(2)=0\).

Ta có phương trình tương giao đồ thị

\(8=x^{3}-m x^{2}-m^{2} x+8 \Leftrightarrow x^{3}-m x^{2}-m^{2} x=0 \Leftrightarrow x\left(x^{2}-m x-m^{2}\right)=0\)

Khi đó đường thẳng \(y=8\) cắt đồ thị hàm số \(y=f(x)\) tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi \(x^{2}-m x-m^{2}=0\) có hai nghiệm phân biệt khác 0.

Ta có \(\left\{\begin{array}{l}\Delta=(-m)^{2}-4 \cdot 1 \cdot\left(-m^{2}\right)>0 \\ 0^{2}-m \cdot 0-m^{2} \neq 0\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}5 m^{2}>0 \\ -m^{2} \neq 0\end{array} \Rightarrow m \neq 0\right.\right.\)

Ta có: \(y^{\prime}=3 x^{2}-2 m x-m^{2}, y^{\prime}=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=m \\ x=-\frac{m}{3}\end{array}\right.\).

Để hàm số có hai điểm cực trị thì \(y^{\prime}=0\) có hai nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow m \neq 0\).

Trường hợp 1: \(m>0 \Rightarrow y_{c t}=y(m)=-m^{3}+8>0 \Leftrightarrow m<2\).

Vậy \(0<m<2 \Rightarrow\) có 1 giá trị nguyên \(m=1\).

Trường hợp 2: \(m<0 \Rightarrow y_{c t}=y\left(-\frac{m}{3}\right)=\frac{5}{27} m^{3}+8>0 \Leftrightarrow m>-\frac{6}{\sqrt[3]{5}}\).

Vậy \(-\frac{6}{\sqrt[3]{5}}<m<0 \Rightarrow\) có 3 giá trị nguyên của \(m\) là \(\{-3 ;-2 ;-1\}\).

Vậy tổng số có 4 giá trị nguyên của \(m\).

Vecto chỉ phương \(\vec{u}=\overrightarrow{A B}=(3 ;-4)\)

Đường thẳng đi qua điểm \(A(-1 ; 2)\) và có vecto chỉ phương \(\vec{u}=(3 ;-4)\) nên có phương trình tham số là: \(\left\{\begin{array}{l}x=3 t-1 \\ y=-4 t+2\end{array}, t \in \mathbb{R}\right.\)

Giả sử tọa độ điểm \(D(x, y)\).

Ta có \(\overrightarrow{A D}=(x+1 ; y-2) ; \overrightarrow{B C}=(1 ; 3)\)

Do \(A B C D\) là hình bình hành nên \(\overrightarrow{A D}=\overrightarrow{B C}\)

Suy ra \(\left\{\begin{array}{l}x+1=1 \\ y-2=3\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}x=0 \\ y=5\end{array}\right.\right.\). Vậy \(D(0 ; 5)\).