Câu hỏi:

Ta có: \(y^{\prime}=3 x^{2}-2 m x-m^{2}, y^{\prime}=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=m \\ x=-\frac{m}{3}\end{array}\right.\).

Để hàm số có hai điểm cực trị thì \(y^{\prime}=0\) có hai nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow m \neq 0\).

Trường hợp 1: \(m>0 \Rightarrow y_{c t}=y(m)=-m^{3}+8>0 \Leftrightarrow m<2\).

Vậy \(0<m<2 \Rightarrow\) có 1 giá trị nguyên \(m=1\).

Trường hợp 2: \(m<0 \Rightarrow y_{c t}=y\left(-\frac{m}{3}\right)=\frac{5}{27} m^{3}+8>0 \Leftrightarrow m>-\frac{6}{\sqrt[3]{5}}\).

Vậy \(-\frac{6}{\sqrt[3]{5}}<m<0 \Rightarrow\) có 3 giá trị nguyên của \(m\) là \(\{-3 ;-2 ;-1\}\).

Vậy tổng số có 4 giá trị nguyên của \(m\).

Vecto chỉ phương \(\vec{u}=\overrightarrow{A B}=(3 ;-4)\)

Đường thẳng đi qua điểm \(A(-1 ; 2)\) và có vecto chỉ phương \(\vec{u}=(3 ;-4)\) nên có phương trình tham số là: \(\left\{\begin{array}{l}x=3 t-1 \\ y=-4 t+2\end{array}, t \in \mathbb{R}\right.\)

Giả sử tọa độ điểm \(D(x, y)\).

Ta có \(\overrightarrow{A D}=(x+1 ; y-2) ; \overrightarrow{B C}=(1 ; 3)\)

Do \(A B C D\) là hình bình hành nên \(\overrightarrow{A D}=\overrightarrow{B C}\)

Suy ra \(\left\{\begin{array}{l}x+1=1 \\ y-2=3\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}x=0 \\ y=5\end{array}\right.\right.\). Vậy \(D(0 ; 5)\).

Gọi \(I\) là dung điểm của \(B C\) ta có \(I\left(\frac{5}{2} ; \frac{-1}{2}\right)\)

Đường trung trực của \(B C\) đi qua điểm I và nhận \(\vec{v}=\overrightarrow{B C}=(1 ; 3)\) làm vecto pháp tuyến.

Phương trình đường thẳng là: \(1\left(x-\frac{5}{2}\right)+3\left(y+\frac{1}{2}\right)=0 \Rightarrow x+3 y-1=0\)

Ta có lớp có tổng cộng 40 học sinh.

Khi đó số cách chọn 4 bạn ban cán sự trong 40 bạn học sinh là: \(C_{40}^{4}=91390\).