Câu hỏi:

Hai đường thẳng \(d_{1}, d_{2}\) cắt nhau khi và chỉ khi \(\frac{m}{1} \neq \frac{1}{m} \Leftrightarrow m^{2} \neq 1 \Leftrightarrow m \neq \pm 1\).

Ta có \(\cos \left(\frac{\pi t}{12}+\frac{\pi}{3}\right)\) có chu kỳ là \(\frac{2 \pi}{\frac{\pi}{12}}=24\).

\(5 \cos \left(\frac{\pi t}{12}+\frac{\pi}{3}\right)+15=15 \Leftrightarrow \cos \left(\frac{\pi t}{12}+\frac{\pi}{3}\right)=0 \Leftrightarrow \frac{\pi t}{12}+\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2}+k \pi \Leftrightarrow t=2+12 k(k \in \mathbb{Z})\).

Mà \(0 \leq t \leq 24\) nên \(0 \leq 2+12 k \leq 24 \Leftrightarrow \frac{-1}{6} \leq k \leq \frac{22}{12} \Rightarrow k \in\{0 ; 1\} \Rightarrow t \in\{2 ; 14\}\)

Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(S\) trên \(A B\). Do mặt bên \((S A B)\) nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy nên \(S H \perp(A B C D)\).

Chiều cao \(S H\) của tam giác đều \(S A B\) là \(S H=\frac{A B \sqrt{3}}{2}=\frac{2 a \sqrt{3}}{2}=a \sqrt{3}\).

Diện tích hình chữ nhật \(A B C D\) là \(S_{A B C D}=A B \cdot A D=2 a \cdot a=2 a^{2}\).

Thể tích khối chóp \(S. A B C D\) là

\(V_{S. A B C D}=\frac{1}{3} S. h=\frac{1}{3} S_{A B C}. S H=\frac{1}{3}.2 a^{2}. a \sqrt{3}=\frac{2 a^{3} \sqrt{3}}{3}\).

Gọi \(I\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) trên \(S B\), khi đó \(A I \perp(S B C)\).

Nên \(\sin (B D,(S B C))=\cos (B D, A I) \Rightarrow \sin \alpha=\cos (B D, A I)\).

Ta có \(\overrightarrow{B D}=\overrightarrow{B A}+\overrightarrow{A D}\),

\(\overrightarrow{A I}=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B I}=\overrightarrow{A B}+\frac{1}{2} \overrightarrow{B S}=\overrightarrow{A B}+\frac{1}{2} \overrightarrow{B H}+\frac{1}{2} \overrightarrow{H S}=\frac{3}{4} \overrightarrow{A B}+\frac{1}{2} \overrightarrow{H S}\).

Và \(B D=\sqrt{A B^{2}+A D^{2}}=\sqrt{(2 a)^{2}+a^{2}}=a \sqrt{5}, A I=\frac{A B \sqrt{3}}{2}=\frac{2 a \sqrt{3}}{2}=a \sqrt{3}\).

Do đó

\(\cos (B D, A I)=\frac{|\overrightarrow{B D} \cdot \overrightarrow{A I}|}{B D \cdot A I}=\frac{\left|(\overrightarrow{B A}+\overrightarrow{A D})\left(\frac{3}{4} \overrightarrow{A B}+\frac{1}{2} \overrightarrow{H S}\right)\right|}{a \sqrt{5} \cdot a \sqrt{3}}=\frac{\frac{3}{4} A B^{2}}{a^{2} \sqrt{15}}=\frac{\frac{3}{4} \cdot(2 a)^{2}}{a^{2} \sqrt{15}}=\frac{\sqrt{15}}{5}\)

Vậy \(\sin \alpha=\frac{\sqrt{15}}{5}\).