Câu hỏi:

Gọi \(I\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) trên \(S B\), khi đó \(A I \perp(S B C)\).

Nên \(\sin (B D,(S B C))=\cos (B D, A I) \Rightarrow \sin \alpha=\cos (B D, A I)\).

Ta có \(\overrightarrow{B D}=\overrightarrow{B A}+\overrightarrow{A D}\),

\(\overrightarrow{A I}=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B I}=\overrightarrow{A B}+\frac{1}{2} \overrightarrow{B S}=\overrightarrow{A B}+\frac{1}{2} \overrightarrow{B H}+\frac{1}{2} \overrightarrow{H S}=\frac{3}{4} \overrightarrow{A B}+\frac{1}{2} \overrightarrow{H S}\).

Và \(B D=\sqrt{A B^{2}+A D^{2}}=\sqrt{(2 a)^{2}+a^{2}}=a \sqrt{5}, A I=\frac{A B \sqrt{3}}{2}=\frac{2 a \sqrt{3}}{2}=a \sqrt{3}\).

Do đó

\(\cos (B D, A I)=\frac{|\overrightarrow{B D} \cdot \overrightarrow{A I}|}{B D \cdot A I}=\frac{\left|(\overrightarrow{B A}+\overrightarrow{A D})\left(\frac{3}{4} \overrightarrow{A B}+\frac{1}{2} \overrightarrow{H S}\right)\right|}{a \sqrt{5} \cdot a \sqrt{3}}=\frac{\frac{3}{4} A B^{2}}{a^{2} \sqrt{15}}=\frac{\frac{3}{4} \cdot(2 a)^{2}}{a^{2} \sqrt{15}}=\frac{\sqrt{15}}{5}\)

Vậy \(\sin \alpha=\frac{\sqrt{15}}{5}\).

Tần số cao nhất là 19 của nhóm [330;370)

Được sắp xếp theo thứ tự không giảm. Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là \(x_{13}\) nên nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là nhóm [290;330) và ta có

\(Q_{1}=290+\frac{\left(\frac{1.50}{4}-2\right)}{12}.(330-290)=325\)

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là \(x_{38}\) nên nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là nhóm [370;410) và ta có

\(Q_{3}=370+\frac{\left(\frac{3.50}{4}-33\right)}{12}.40=385\)

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là \(\Delta_{Q}=Q_{3}-Q_{1}=385-325=60\).

\(\int f(x) d x=\int\left(x^{2}+4 x+2\right) d x=\frac{x^{3}}{3}+2 x^{2}+2 x+C\)

\(\int_{0}^{3}\left[2 f(x)+3^{-x}\right] d x=2 \int_{0}^{3} f(x) d x+\int_{0}^{3} 3^{-x} d x=\left.2\left(x^{2}+4 x+2\right)\right|_{0} ^{3}+\int_{0}^{3}\left(\frac{1}{3}\right)^{x} d x=66+\left.\frac{\left(\frac{1}{3}\right)^{x}}{\ln \frac{1}{3}}\right|_{0} ^{3}\)

\(=66-\frac{26}{27 \ln \frac{1}{3}}=66+\frac{26}{27 \ln 3}\)

Do đó \(a=66, c=26, d=27\). Vậy \(T=a-c-d=66-26-27=13\).