Câu hỏi:
Cho hình chóp \(S. A B C D\) có đáy \(A B C D\) là hình chữ nhật, \(A B=2 a, A D=a\). Mặt bên \((S A B)\) là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy.
Gọi \(\alpha\) là góc giữa đường thẳng \(B D\) và mặt phẳng \((S B C)\). Tính \(\sin \alpha\).
Đáp án đúng: B
Gọi \(I\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) trên \(S B\), khi đó \(A I \perp(S B C)\).
Nên \(\sin (B D,(S B C))=\cos (B D, A I) \Rightarrow \sin \alpha=\cos (B D, A I)\).
Ta có \(\overrightarrow{B D}=\overrightarrow{B A}+\overrightarrow{A D}\),
\(\overrightarrow{A I}=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B I}=\overrightarrow{A B}+\frac{1}{2} \overrightarrow{B S}=\overrightarrow{A B}+\frac{1}{2} \overrightarrow{B H}+\frac{1}{2} \overrightarrow{H S}=\frac{3}{4} \overrightarrow{A B}+\frac{1}{2} \overrightarrow{H S}\).
Và \(B D=\sqrt{A B^{2}+A D^{2}}=\sqrt{(2 a)^{2}+a^{2}}=a \sqrt{5}, A I=\frac{A B \sqrt{3}}{2}=\frac{2 a \sqrt{3}}{2}=a \sqrt{3}\).
Do đó
\(\cos (B D, A I)=\frac{|\overrightarrow{B D} \cdot \overrightarrow{A I}|}{B D \cdot A I}=\frac{\left|(\overrightarrow{B A}+\overrightarrow{A D})\left(\frac{3}{4} \overrightarrow{A B}+\frac{1}{2} \overrightarrow{H S}\right)\right|}{a \sqrt{5} \cdot a \sqrt{3}}=\frac{\frac{3}{4} A B^{2}}{a^{2} \sqrt{15}}=\frac{\frac{3}{4} \cdot(2 a)^{2}}{a^{2} \sqrt{15}}=\frac{\sqrt{15}}{5}\)
Vậy \(\sin \alpha=\frac{\sqrt{15}}{5}\).
Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài
Câu hỏi liên quan
Tần số cao nhất là 19 của nhóm [330;370)
Được sắp xếp theo thứ tự không giảm. Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là \(x_{13}\) nên nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là nhóm [290;330) và ta có
\(Q_{1}=290+\frac{\left(\frac{1.50}{4}-2\right)}{12}.(330-290)=325\)
Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là \(x_{38}\) nên nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là nhóm [370;410) và ta có
\(Q_{3}=370+\frac{\left(\frac{3.50}{4}-33\right)}{12}.40=385\)
Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là \(\Delta_{Q}=Q_{3}-Q_{1}=385-325=60\).
\(\int f(x) d x=\int\left(x^{2}+4 x+2\right) d x=\frac{x^{3}}{3}+2 x^{2}+2 x+C\)
\(\int_{0}^{3}\left[2 f(x)+3^{-x}\right] d x=2 \int_{0}^{3} f(x) d x+\int_{0}^{3} 3^{-x} d x=\left.2\left(x^{2}+4 x+2\right)\right|_{0} ^{3}+\int_{0}^{3}\left(\frac{1}{3}\right)^{x} d x=66+\left.\frac{\left(\frac{1}{3}\right)^{x}}{\ln \frac{1}{3}}\right|_{0} ^{3}\)
\(=66-\frac{26}{27 \ln \frac{1}{3}}=66+\frac{26}{27 \ln 3}\)
Do đó \(a=66, c=26, d=27\). Vậy \(T=a-c-d=66-26-27=13\).
\(\overrightarrow{C B}=(3 ;-2 ; 1)\)
Gọi \(I\) là trung điểm \(BC\) , khi đó \(I\left(\frac{1}{2} ; 2 ; \frac{3}{2}\right)\).
Ta có: \(R=\frac{B C}{2}=\frac{\sqrt{3^{2}+(-2)^{2}+1^{2}}}{2}=\frac{\sqrt{14}}{2}\).
Khi đó phương trình mặt cầu là:
\((S):\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}+(y-2)^{2}+\left(z-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{7}{2}\).
Trọn Bộ Giáo Án Word & PowerPoint Tiếng Anh 12 – I-Learn Smart World – Năm Học 2025-2026
Trọn Bộ Giáo Án Word & PowerPoint Tiếng Anh 12 – Global Success – Năm Học 2025-2026
Trọn Bộ Giáo Án Word & PowerPoint Hóa Học 12 – Kết Nối Tri Thức – Năm Học 2025-2026
Trọn Bộ Giáo Án Word & PowerPoint Hóa Học 12 – Chân Trời Sáng Tạo – Năm Học 2025-2026
Trọn Bộ Giáo Án Word & PowerPoint Công Nghệ 12 – Kết Nối Tri Thức – Năm Học 2025-2026
