Xác suất để 1 con gà đẻ là 0.6. Trong chuồng có 6 con, xác suất để trong một ngày có ít nhất 1 con gà đẻ:

Gọi A là biến cố "mỗi phần đều có một bi đỏ".
Ta chia 9 bi thành 3 phần bằng nhau, mỗi phần 3 bi.
Tổng số cách chia 9 bi thành 3 phần, mỗi phần 3 bi là: C(9,3) * C(6,3) * C(3,3) / 3! = (9! / (3! * 6!)) * (6! / (3! * 3!)) * (3! / (3! * 0!)) / 6 = (9! / (3! * 3! * 3! * 3!)) = 280
Số cách chia sao cho mỗi phần có 1 bi đỏ:
Chọn 1 bi đỏ cho phần 1: C(3,1) cách
Chọn 2 bi còn lại cho phần 1 từ 6 bi không đỏ: C(6,2) cách
Chọn 1 bi đỏ cho phần 2: C(2,1) cách
Chọn 2 bi còn lại cho phần 2 từ 4 bi không đỏ: C(4,2) cách
Chọn 1 bi đỏ cho phần 3: C(1,1) cách
Chọn 2 bi còn lại cho phần 3 từ 2 bi không đỏ: C(2,2) cách
Số cách chia: C(3,1) * C(6,2) * C(2,1) * C(4,2) * C(1,1) * C(2,2) / 3! = (3 * 15 * 2 * 6 * 1 * 1) / 6 = 90/6 = 15.
Số cách chia 6 bi không đỏ thành 3 phần mỗi phần 2 bi là: C(6,2)*C(4,2)*C(2,2)/3! = (15*6*1)/6 = 15.
Vậy số cách chia để mỗi phần có 1 bi đỏ là 15.
Xác suất để mỗi phần có một bi đỏ là: P(A) = 15/280 = 3/56.
Cách 2: Chia ngẫu nhiên 9 viên bi thành 3 phần, mỗi phần 3 viên. Xác suất để mỗi phần có 1 viên bi đỏ:
Chọn 3 viên cho phần thứ nhất.
Tổng số cách chọn là: C(9,3) = 84
Số cách chọn 3 viên sao cho có 1 viên đỏ là: C(3,1)*C(6,2) = 3*15 = 45
Vậy xác suất để phần thứ nhất có 1 viên đỏ là: 45/84 = 15/28
Chọn 3 viên cho phần thứ hai từ 6 viên còn lại.
Tổng số cách chọn là: C(6,3) = 20
Số cách chọn 3 viên sao cho có 1 viên đỏ là: C(2,1)*C(4,2) = 2*6 = 12
Vậy xác suất để phần thứ hai có 1 viên đỏ là: 12/20 = 3/5
Phần thứ ba chắc chắn có 1 viên đỏ, xác suất là 1.
Vậy xác suất là: (15/28) * (3/5) * 1 = 9/28

Gọi A là biến cố sinh viên đạt môn thứ nhất, B là biến cố sinh viên đạt môn thứ hai.
Ta có: P(A) = 0.8
P(B|A) = 0.6
P(B|¬A) = 0.3
Ta cần tính xác suất để sinh viên A đạt ít nhất một môn, tức là P(A∪B).
P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)
Ta có: P(A∩B) = P(A) * P(B|A) = 0.8 * 0.6 = 0.48
P(¬A) = 1 - P(A) = 1 - 0.8 = 0.2
P(B) = P(B|A) * P(A) + P(B|¬A) * P(¬A) = 0.6 * 0.8 + 0.3 * 0.2 = 0.48 + 0.06 = 0.54
P(A∪B) = 0.8 + 0.54 - 0.48 = 0.86
Vậy xác suất để sinh viên A đạt ít nhất một môn là 0.86.

Gọi A, B, C lần lượt là biến cố sinh viên A, B, C làm được bài. Ta có: P(A) = 0.8; P(B) = 0.7; P(C) = 0.6. Đề bài yêu cầu tính xác suất để có đúng 2 sinh viên làm được bài.

Các trường hợp có thể xảy ra là:

1. A và B làm được, C không làm được: P(A) * P(B) * P(¬C) = 0.8 * 0.7 * (1 - 0.6) = 0.8 * 0.7 * 0.4 = 0.224
2. A và C làm được, B không làm được: P(A) * P(C) * P(¬B) = 0.8 * 0.6 * (1 - 0.7) = 0.8 * 0.6 * 0.3 = 0.144
3. B và C làm được, A không làm được: P(B) * P(C) * P(¬A) = 0.7 * 0.6 * (1 - 0.8) = 0.7 * 0.6 * 0.2 = 0.084

Xác suất để có đúng 2 sinh viên làm được bài là tổng xác suất của 3 trường hợp trên:

P = 0.224 + 0.144 + 0.084 = 0.452

Vậy đáp án đúng là D. 0.452

Gọi A là biến cố "người được chọn hút thuốc", B là biến cố "người được chọn bị viêm họng".
Ta có: P(A) = 30/100 = 0.3
P(B|A) = 60% = 0.6
P(B|¬A) = 30% = 0.3
Cần tính P(A|B).
Theo công thức Bayes:
P(A|B) = [P(B|A) * P(A)] / [P(B|A) * P(A) + P(B|¬A) * P(¬A)]
P(¬A) = 1 - P(A) = 1 - 0.3 = 0.7
P(A|B) = (0.6 * 0.3) / (0.6 * 0.3 + 0.3 * 0.7) = 0.18 / (0.18 + 0.21) = 0.18 / 0.39 ≈ 0.4615
Vậy đáp án là 0.4615.

Đây là bài toán về biến ngẫu nhiên rời rạc. Ta có tổng cộng 7 sản phẩm, trong đó có 3 phế phẩm và 4 sản phẩm tốt. Ta chọn ngẫu nhiên 4 sản phẩm. Gọi X là số sản phẩm tốt lấy được. X có thể nhận các giá trị 1, 2, 3, 4.

Để tính phương sai D(X), ta cần tính E(X) và E(X^2). Bài toán này có thể giải bằng cách sử dụng phân phối siêu bội.
Gọi N là tổng số sản phẩm (N=7), K là số sản phẩm tốt (K=4), n là số sản phẩm được chọn (n=4).
X có phân phối siêu bội với các tham số N, K, n.
E(X) = n*K/N = 4*4/7 = 16/7.
E[X(X-1)] = n(n-1) * K(K-1) / (N(N-1)) = 4*3*4*3 / (7*6) = 72/42 = 12/7
E(X^2) = E[X(X-1)] + E(X) = 12/7 + 16/7 = 28/7 = 4
D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 4 - (16/7)^2 = 4 - 256/49 = (196 - 256)/49 = -60/49. Tuy nhiên, phương sai không thể âm. Có vẻ như có lỗi trong quá trình tính toán. Cách khác:
Tính xác suất để chọn được x sản phẩm tốt (và 4-x phế phẩm):
P(X=x) = (C(4,x) * C(3, 4-x)) / C(7,4), với C(n,k) là tổ hợp chập k của n.
Các giá trị có thể của x là 1, 2, 3, 4.
P(X=1) = (C(4,1) * C(3,3)) / C(7,4) = (4 * 1) / 35 = 4/35
P(X=2) = (C(4,2) * C(3,2)) / C(7,4) = (6 * 3) / 35 = 18/35
P(X=3) = (C(4,3) * C(3,1)) / C(7,4) = (4 * 3) / 35 = 12/35
P(X=4) = (C(4,4) * C(3,0)) / C(7,4) = (1 * 1) / 35 = 1/35
E(X) = 1*4/35 + 2*18/35 + 3*12/35 + 4*1/35 = (4 + 36 + 36 + 4)/35 = 80/35 = 16/7
E(X^2) = 1^2 * 4/35 + 2^2 * 18/35 + 3^2 * 12/35 + 4^2 * 1/35 = (4 + 72 + 108 + 16) / 35 = 200/35 = 40/7
D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 40/7 - (16/7)^2 = 40/7 - 256/49 = (280 - 256)/49 = 24/49